河北省张家口市、沧州市2021届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in R | - 2 ⩽ x < 3}$ ， $B = {x \in Z | | x - 1 | < 3}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${- 1, 0, 1, 2, 3}$ B、 ${- 1, 0, 1, 2}$ C、 ${0, 1, 2, 3}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

查看试题解析
2. 设 $a \in R$ 且 $a \neq 0$ ，若复数 ${(1 + a i)}^{3}$ 是实数，则 $a^{2} =$ （）

A、9 B、6 C、3 D、2

查看试题解析
3. 若 $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ， $2 \sin α + \cos α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $\tan α =$ （）

A、-2 B、2 C、 $\frac{2}{11}$ D、 $- \frac{2}{11}$

查看试题解析
4. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点到渐近线的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{a}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
5. 设平面向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ， $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 = \frac{1}{3}$ ，则 $| \vec{b} | =$ （）

A、2 B、3 C、9 D、6

查看试题解析
6. 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.我国在2020年进行了第七次人口普查登记，到2021年4月以后才能公布结果.人口增长可以用英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus，1766—1834)提出的模型： $y = y_{0} \cdot e^{r t}$ ，其中t表示经过的时间， $y_{0}$ 表示 $t = 0$ 时的人口数，r表示人口的年平均增长率.以国家统计局发布的2000年第五次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口12.43亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)和2010年第六次人口普查登记(已上报户口)的全国总人口13.33亿人(不包括香港､澳门和台湾地区)为依据，用马尔萨斯人口增长模型估计我国2020年末(不包括香港､澳门和台湾地区)的全国总人口数约为（）( $13 . 33^{2} = 177.6889$ ， ${12.43}^{2} = 154.5049$ )

A、14.30亿 B、15.20亿 C、14.62亿 D、15.72亿

查看试题解析
7. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面ABC.所有棱长都为1，E，F分别为棱BC和 $A_{1} C_{1}$ 的中点，若经过点A，E，F的平面将三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 分割成两部分，则这两部分体积的比值为（）

A、 $\frac{5}{24}$ B、 $\frac{9}{17}$ C、 $\frac{7}{24}$ D、 $\frac{7}{17}$

查看试题解析
8. 对于任意 $x \in [0 ， 1]$ ，总存在三个不同的实数 $y \in [- 1 ， 3]$ ，使得 $y^{2} e^{1 - y + x} - a e^{x} - \frac{x}{2} = 0$ 成立，则实数a的取值范围是（）

A、 $[\frac{4}{e^{2}} ， \frac{7}{2 e})$ B、 $[\frac{9}{e^{2}} ， \frac{7}{2 e})$ C、 $(\frac{7}{2 e} ， \frac{9}{e^{2}}]$ D、 $[\frac{3}{e^{2}} ， \frac{8}{e})$

查看试题解析

二、多选题

9. 已知直线 $l : k x + y = 0$ 与圆 $M : x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ ，则下列说法中正确的是（）

A、直线l与圆M一定相交 B、若 $k = 0$ ，则直线l与圆M相切 C、当 $k = - 1$ 时，直线l与圆M的相交弦最长 D、圆心M到直线l的距离的最大值为 $\sqrt{2}$

查看试题解析
10. 2014年7月18日，教育部公布了修订的《国家学生体质健康标准》.学生体测成绩达到或超过良好，才有资格参与评优与评奖，中学男生100米体能测试的良好成绩小于14.15秒､某中学为了解高一男生的体能情况，通过随机抽样，获得了100名男生的100米体能测试的成绩(单位：秒)，将数据按照[11.5，12)，[12，12.5)，…，[15.5，16]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

由直方图推断，下列选项正确的是（）

A、直方图中a的值为0.4 B、由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的众数为13.75秒 C、由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩的中位数为13.7秒 D、由直方图估计本校高一男生100米体能测试成绩良好率超过了80%

查看试题解析
11. 已知 $2^{a} = 3^{b} = 6$ ，则下列选项一定正确的是（）

A、 $a b > 4$ B、 ${(a - 1)}^{2} + {(b - 1)}^{2} < 2$ C、 $\log_{2} a + \log_{2} b > 2$ D、 $a + b > 4$

查看试题解析
12. 同余关系是数论中的重要概念，在我国南北朝时期的著作《孙子算经》中就对同余除法有了较深的研究.设a，b，m为正整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为 $a \equiv b (\mod m)$ .则下列选项中正确的是（）

A、若 $| a - b | = k m, k \in N^{*}$ ，则 $a \equiv b (\mod m)$ B、 $2^{18} \equiv 56 (\mod 3)$ C、若 $a \equiv (m + 1) (\mod m), b \equiv (m + 2) (\mod m)$ ，则 $a b \equiv (m + 3) (\mod m)$ D、若 $a \equiv b (\mod m)$ ，则 $a^{n} \equiv b^{n} (\mod m), n \in N^{*}$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知随机变量 $X ~ N (1.5, {0.4}^{2})$ ，若 $P (X \leq 1.75) = 0.6$ ，则 $P (1.25 \leq X \leq 1.75) =$ .

查看试题解析
14. 已如点 $D (4, 0)$ ，F为抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点，过点F且斜率为k的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 $\vec{A D} \cdot \vec{B D} ⩽ 1$ ，则k²的取值范围是.

查看试题解析
15. 某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的周柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模其体积的最小值为.

查看试题解析
16. 当 $x = α$ 时，函数 $f (x) = 2 \sin x + \cos x$ 取得最大值为，且 $\tan α =$ .

查看试题解析

四、解答题

17. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} - 2 a_{n} = 3$ .

(1)、证明数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项.

(2)、是否存在整数k，使得 $S_{k} > 2021$ ？若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由.

查看试题解析
18. 已知在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $c = b \cos A - a \sin B$ .

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{5}$ ， $a = \sqrt{2} c$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

查看试题解析

19. 某中学的学习兴趣小组随机调查了该校110名学生的到校形式，整理后得到如下的

2 \times 2

列联表：

	父母接送	独自到校	合计
男	20	40	60
女	30	20	50
合计	50	60	110

附表：

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.100	0.05	0.025	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

(1)、根据列联表的数据判断，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为到校形式与性别有关系？

(2)、若以上述样本的频率作为概率，在该校中随机抽取6人，用X表示6人中“独自到校”的人数，求X的数学期望和方差.

查看试题解析

20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是菱形， $P A = P D = A D$ ， $∠ D A B = 60 °$ .

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、若异面直线PB与CD所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x^{2} - 2$ .

(1)、当 $a = e$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、若 $f (x) + e^{- x} \geq 0$ 恒成立，求实数a的取值范围.

查看试题解析
22. 已知 $M (- 2 ， 0)$ ， $N (2 ， 0)$ ，动点P满足：直线PM与直线PN的斜率之积为常数 $- \frac{1}{4}$ ，设动点P的轨迹为曲线 $C_{1}$ .抛物线 $C_{2} ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 与 $C_{1}$ 在第一象限的交点为A，过点A作直线l交曲线 $C_{1}$ 于点B.交抛物线 $C_{2}$ 于点E(点B，E不同于点A).

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的方程.

(2)、是否存在不过原点的直线l，使点E为线段AB的中点？若存在，求出p的最大值；若不存在，请说明理由.

查看试题解析