海南省2021届高三数学五模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， 0 ， 1 ， 2 ， 4}$ ， $B = {x | \ln x < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、{1} B、 ${1 ， 2}$ C、 ${1 ， 2 ， 4}$ D、 ${0 ， 1 ， 2}$

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2. 如图，复平面内的平行四边形 $O A B C$ 的顶点 $A$ 和 $C$ 对应的复数分别为 $2 + i$ 和 $- 1 + 3 i$ ，则点 $B$ 对应的复数为（）

A、 $3 + i$ B、 $4 + i$ C、 $1 + 3 i$ D、 $1 + 4 i$

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3. 某校高一､高二､高三的住校生人数分别为120，180，150，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取90人进行问卷调查，则高一､高二､高三被抽到的住校生人数分别为（）

A、12，18，15 B、20，40，30 C、25，35，30 D、24，36，30

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4. 已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，点 $A$ ， $B$ 在 $C$ 的准线上，若 $△ F A B$ 是正三角形且面积为 $3 \sqrt{3}$ ，则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 将直角三角形 $A B C$ 分别绕直角边 $A B$ 和 $A C$ 旋转一周，所得两个圆锥的体积之比为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\sin B =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 比萨斜塔是意大利的著名景点，因斜而不倒的奇特景象而世界闻名.把地球看成一个球(球心记为 $O$ )，地球上一点 $A$ 的纬度是指 $O A$ 与地球赤道所在平面所成角， $O A$ 的方向即为 $A$ 点处的竖直方向.已知比萨斜塔处于北纬 $44 °$ ，经过测量，比萨斜塔朝正南方向倾斜，且其中轴线与竖直方向的夹角为 $4 °$ ，则中轴线与赤道所在平面所成的角为（）

A、40° B、42° C、48° D、50°

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7. 已知 $\tan θ + \frac{1}{\tan θ} = 4$ ，则 $\sin^{4} θ + \cos^{4} θ =$ （）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{7}{8}$

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8. 已知偶函数 $f (x) (x \in R)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = 0$ ，且在 $x = 1$ 处的导数 $f^{'} (1) = - 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(9 ， f (9))$ 处的切线方程为（）

A、 $x + y - 9 = 0$ B、 $x - y - 9 = 0$ C、 $x + y - 1 = 0$ D、 $x - y - 1 = 0$

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二、多选题

9. 下列函数中，以 $4 π$ 为周期的函数有（）

A、 $y = \tan \frac{x}{4}$ B、 $y = \sin \frac{x}{4}$ C、 $y = \sin | x |$ D、 $y = \cos | x |$

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10. 已知圆 $O_{1} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 3 = 0$ 和圆 $O_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 y - 1 = 0$ 的交点为 $A$ ， $B$ ，则（）

A、圆 $O_{1}$ 和圆 $O_{2}$ 有两条公切线 B、直线 $A B$ 的方程为 $x - y + 1 = 0$ C、圆 $O_{2}$ 上存在两点 $P$ 和 $Q$ 使得 $| P Q | > | A B |$ D、圆 $O_{1}$ 上的点到直线 $A B$ 的最大距离为 $2 + \sqrt{2}$

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11. 由函数 $f (x) = 3^{x}$ 的图象得到函数 $g (x) = 3^{x + 2}$ 的图象，正确的变换方法有（）

A、将 $f (x)$ 的图象向左平移2个单位长度 B、将 $f (x)$ 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的9倍 C、先将 $f (x)$ 的图象上各点的纵坐标伸长到原来的3倍，再向左平移1个单位长度 D、先将 $f (x)$ 的图象向右平移1个单位长度，将各点的纵坐标伸长到原来的3倍

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12. 设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (- 1 ， 4)$ ，随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N (2 ， \frac{1}{4})$ ，下列判断正确的是（）

A、 $P (X \geq 0) > P (Y \geq 0)$ B、 $P (X \leq 0) > P (Y \leq 0)$ C、存在 $t > 0$ ，满足 $P (X \leq t) = P (Y \leq t)$ D、存在 $t < 0$ ，满足 $P (X \geq t) = P (Y \geq t)$

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三、填空题

13. 若“ $\exists x \in [- 1, 2]$ ， $x^{2} - m > 1$ ”为假命题，则实数 $m$ 的最小值为.

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{a} - 2 \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{7}$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 中各项均为正数，且 ${b_{n}}$ 是公为2的等差数列，若点 $P_{n} (a_{n}, b_{n}) (n \in N^{*})$ 均在双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上，则 $a_{n + 1} - a_{n}$ 的取值范围是.

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16. ${(x - 3 y + 2)}^{5}$ 的展开式中，常数项为，所有不含字母 $x$ 的项的系数之和为.

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四、解答题

17. 在① $c = 4$ ，② $\cos C = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 这两个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答：
在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $B = 2 C$ ， $b = 6$ ，且 ▲ 求a及 $△ A B C$ 的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{3} = 5$ ， $a_{2} + a_{4} = 10$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + {(- 1)}^{n} \log_{2} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2 A A_{1}$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是棱 $A B$ ， $B C$ 的中点.

(1)、证明： $C_{1} F / /$ 平面 $B_{1} D_{1} E$ ；

(2)、求平面 $B_{1} D_{1} E$ 与平面 $C_{1} D_{1} F$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 从去年开始，全国各地积极开展“一盔一带”安全守护行动，倡导群众佩戴安全头盔､使用安全带.为了解相关的情况，某学习小组统计了国内20个城市的电动自行车头盔佩戴率 $x (%)$ 和电动自行车驾乘人员交通事故死亡率 $y (%)$ ，并整理得到下面的散点图.

参考数据： $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 1000$ ， $\sum_{i = 1}^{20} y_{i} = 1080$ ， $\sum_{i = 1}^{20} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 6800$ ， $\sum_{i = 1}^{20} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 1700$ .参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、求这20个城市的电动自行车头盔佩戴率大于50%的概率；

(2)、通过散点图分析 $y$ 与 $x$ 的相关关系，说明佩戴安全头盔的必要性；

(3)、有四名同学通过计算得到 $y$ 与 $x$ 的相关系数分别为0.97，0.62， $- 0.45$ ， $- 0.98$ ，请你从中选出最有可能正确的结果，并以此求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过点 $A (2 ， 0)$ ，过右焦点 $F$ 且与 $x$ 轴垂直的直线 $l$ 被 $C$ 截得的线段长为3.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $P$ 在椭圆 $C$ 上，直线 $A P$ 与 $l$ 交于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $A P$ 的垂线，与 $y$ 轴交于点 $Q$ ，若 $P F ⊥ Q F$ ，求点 $P$ 的坐标.

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} - 1$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，且 $f (x)$ 在 $(0 ， 1)$ 上存在零点 $x_{0}$ ，证明： $- x_{0}^{2} + 2 x_{0} - 1 > 2 \ln a$ .

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