广西来宾、玉林、梧州等2021届高三理数4月模拟联考试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {x \in N | x \leq 5}$ ， $A = {1, 2}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${0, 3, 5}$ B、 ${0, 3, 4}$ C、 ${3, 4, 5}$ D、 ${0, 3, 4, 5}$

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2. 设复数z满足 $z + i = z i$ （其中i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点所在的象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y \leq 6 ， \\ x \geq 0 ， \\ y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = x - y$ 的最小值为（）

A、-1 B、-2 C、-6 D、-4

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4. 若圆 $C_{1} : {(x - 1)}^{2} + {(y - a)}^{2} = 4$ 与圆 $C_{2} : {(x + 2)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = a^{2}$ 相交，则正实数a的取值范围为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(2, + \infty)$ C、 $(\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $(3, 4)$

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5. 根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如下表，则下列说法错误的是（）

年份

第一年

第二年

第三年

第四年

第五年

降雨天数

34

37

43

45

46

A、降雨天数逐年递增 B、五年内三个月份平均降雨天数为41天 C、从第二年开始，每一年降雨天数对比前一年的增加量越来越小 D、五年内降雨天数的方差为22

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6. 设抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与直线 $y = x$ 交于点M（点M在第一象限），且M到焦点F的距离为10，则抛物线C的标准方程为（）

A、 $y^{2} = 4 x$ B、 $y^{2} = 8 x$ C、 $y^{2} = 12 x$ D、 $y^{2} = 16 x$

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7. 为了方便向窄口容器中注入液体，某单位设计一种圆锥形的漏斗，设计要求如下：该圆锥形漏斗的高为 $8 cm$ ，且当窄口容器的容器口是半径为 $1 cm$ 的圆时，漏斗顶点处伸入容器部分的高为 $2 cm$ ，则制造该漏斗所需材料面积的大小约为（）（假设材料没有浪费）

A、 $12 \sqrt{5} π {cm}^{2}$ B、 $8 \sqrt{5} π {cm}^{2}$ C、 $16 \sqrt{5} π {cm}^{2}$ D、 $18 \sqrt{5} π {cm}^{2}$

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8. 在 $1 + (1 + x) + {(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + {(1 + x)}^{5} + {(1 + x)}^{6}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 项的系数是（）

A、25 B、30 C、35 D、40

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9. 如图是函数 $y = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < 2 π)$ 的部分图象，则该函数图象与直线 $y = \frac{x}{2021}$ 的交点个数为（）

A、8083 B、8084 C、8085 D、8086

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10. 已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ 满足在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增， $f (3) = 0$ ，则关于x的不等式 $\frac{f (x + 2) + f (- x - 2)}{x} > 0$ 的解集为（）

A、 $(- 5 ， - 2) \cup (0 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 5) \cup (0 ， 1)$ C、 $(- 3 ， 0) \cup (3 ， + \infty)$ D、 $(- 5 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$

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11. 设双曲线 $C : \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点P（异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 可能是正三角形 B、P到两渐近线的距离之积是定值 C、若 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为8 D、在 $△ P F_{1} F_{2}$ 中， $\frac{\sin ∠ F_{1} P F_{2}}{\sin ∠ P F_{2} F_{1} - \sin ∠ P F_{1} F_{2}} = \frac{5}{4}$

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12. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，记 $b_{n} = S_{1} + S_{2} + \dots + S_{n} - 4 n - 8$ ，若数列 ${b_{n}}$ 也为等比数列，则 $a_{2} =$ （）

A、12 B、32 C、-16 D、-8

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二、填空题

13. 已知 $\tan θ = \sqrt{2}$ ，则 $\frac{\sqrt{2} \sin 2 θ}{1 + \cos 2 θ} =$ ．

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14. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} + 2 \vec{b} | = 1, | \vec{a} - 2 \vec{b} | = 5$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = a_{2} = 1$ ，当 $n \geq 1$ 且 $n \in N^{*}$ 时 $a_{n + 2} = {(- 1)}^{n} (a_{n} + n) - n$ ，则 $S_{20} =$ .

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16. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C$ ，直线 $P B$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小为 $30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A C B = 60 °$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为．

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $\sqrt{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2}) = 2 b c \sin A$ ．

(1)、求B；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积是 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $c = 2 a$ ，求b．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是等边三角形，底面 $A B C D$ 是棱长为2的菱形，O是 $A D$ 的中点， $O B ⊥ P D ， △ P A D$ 与 $△ A B D$ 全等．

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的正弦值．

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19. 为了解企业职工对工会工作满意度情况之间的关系，某企业工会按性别采用分层抽样的方法，从全体企业职工中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的职工分别对工会工作进行评分，满分为100分，调查结果显示：最低分为40分，最高分为90分．随后，企业工会将男、女职工的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：

男职工评分结果的频数分布表

分数区间	频数
$[40 ， 50)$	3
$[50 ， 60)$	3
$[60 ， 70)$	16
$[70 ， 80)$	38
$[80 ， 90]$	20

为了便于研究，工会将职工对工会工作的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：

分数	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90]$
满意度情况	不满意	一般	比较满意	满意	非常满意

(1)、求m的值；

(2)、为进一步改善工会工作，让职工满意，从评分在

[40 ， 60)

的男职工中随机抽取2人进行座谈，记这2人中对工会工作满意度“一般”的人数为X，求X的分布列与数学期望；

(3)、以调查结果的频率估计概率，从该企业所有职工中随机抽取一名职工，求其对工会工作“比较满意”的概率．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (- 1, \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，短轴长为 $2$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $(0, 2)$ 的直线 $l$ （直线 $l$ 不与 $x$ 轴垂直）与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M$ ， $N$ ，且 $O$ 为坐标原点．求 $△ M O N$ 的面积的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = x + a \ln x$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a \neq 0$ 时，若 $f (x) \leq \frac{1}{a} x^{2} + e$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在极坐标系中，已知三点 $A (2, 0)$ ， $B (2, \frac{3 π}{2})$ ， $C (ρ, \frac{π}{6})$ .

(1)、若A，B，C三点共线，求 $ρ$ 的值；

(2)、求过O，A，B三点的圆的极坐标方程.（O为极点）

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23. 已知函数 $f (x) = | x | + a | x - 1 | (x \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若不等式 $f (x) < | x | + a - 1$ 有解，求实数 $a$ 的取值范围.

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年份	第一年	第二年	第三年	第四年	第五年
降雨天数	34	37	43	45	46