广东省梅州市2021届高三下学期数学二模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $(z - 3) (2 - i) = 5$ ( $i$ 为虚数单位)，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $5 + i$ D、 $5 - i$

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2. 设 $A$ ， $B$ 是两个集合，则“ $A \cap B = A$ ”是“ $A \subseteq B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 设P是 $Δ A B C$ 所在平面内的一点， $\overset{⇀}{B C} + \overset{⇀}{B A} = 2 \overset{⇀}{B P}$ ，则（）

A、 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} = \overset{⇀}{0}$ B、 $\overset{⇀}{P C} + \overset{⇀}{P A} = \overset{⇀}{0}$ C、 $\overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \overset{⇀}{0}$ D、 $\overset{⇀}{P A} + \overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C} = \overset{⇀}{0}$

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4. $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点，点 $P (2, 3)$ 在C上，且 $F_{1} F_{2} ⊥ F_{2} P$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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5. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古代人们用于祭祀神明的一种礼器，距今约5100年．至新石器中晚期，玉琮在江浙一带的良渚文化、广东石峡文化、山西陶寺文化中大量出现，尤以良渚文化的玉琮最发达，出土与传世的数量很多．现一仿古玉琮呈扁矮的方柱体，通高 $9 .8cm$ ，内圆外方，上下端为圆面的射，中心有一上下垂直相透的圆孔，孔径 $5 .9cm$ ，外径 $19 .6cm$ ，试估计该仿古玉琮的体积约为（）（单位： ${cm}^{3}$ ）

A、3300 B、3700 C、3900 D、4500

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6. 函数 $f (x) = (1 - \frac{2}{1 + e^{x}}) \cos x$ 的图象大致形状是（）

A、 B、 C、 D、

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7. 古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出已知线段的黄金分割点，具体方法如下：（1）取线段 $A B = 2$ ，过点 $B$ 作 $A B$ 的垂线，并用圆规在垂线上截取 $B C = \frac{1}{2} A B$ ，连接 $A C$ ；（2）以 $C$ 为圆心， $B C$ 为半径画弧，交 $A C$ 于点 $D$ ；（3）以 $A$ 为圆心，以 $A D$ 为半径画弧，交 $A B$ 于点 $E$ .则点 $E$ 即为线段 $A B$ 的黄金分割点.若在线段 $A B$ 上随机取一点F，则使得 $B E \leq A F \leq A E$ 的概率约为（）（参考数据： $\sqrt{5} \approx 2.236$ ）

A、0.618 B、0.472 C、0.382 D、0.236

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8. 设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ 均为正数，且 $2^{x_{1}} + \log_{2} x_{1} = 0$ ， $1 + 2^{x_{2}} \log_{2} x_{2} = 0$ ， $1 - 2^{x_{3}} \log_{2} x_{3} = 0$ ，则（）

A、 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ B、 $x_{3} < x_{2} < x_{1}$ C、 $x_{3} < x_{1} < x_{2}$ D、 $x_{2} < x_{1} < x_{3}$

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二、多选题

9. 若 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b} > 0$ ，下列不等式中正确的是（）

A、 $a^{2} (1 + b) < a b (1 + a)$ B、 $a^{3} + b^{3} > 2 a b^{2}$ C、 $\sqrt{b} - \sqrt{a} < \sqrt{b - a}$ D、 $\log_{a + 2} 3 > \log_{b + 1} 3$

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10. 函数 $f (x) = \sin 2 x - \sqrt{3} \cos 2 x + 1$ ，下列选项中说法正确的是（）

A、 $f (x) + f (\frac{π}{3} - x) = 2$ B、 $f (\frac{π}{3} - x)$ 的图象关于 $x = - \frac{π}{12}$ 对称 C、若 $0 < x_{1} < x_{2} < \frac{5 π}{12}$ ，则 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ D、存在 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，使得 $f (x_{1}) + f (x_{2}) < f (x_{3})$

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 3$ ，点M，N分别在棱AB和 $B B_{1}$ 上运动（不含端点），若 $D_{1} M ⊥ M N$ ，下列命题正确的是（）

A、 $M N ⊥ A_{1} M$ B、 $M N ⊥$ 平面 $D_{1} M C$ C、线段BN长度的最大值为 $\frac{3}{4}$ D、三棱锥 $C_{1} - A_{1} D_{1} M$ 体积不变

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12. 曲线 $C ： {(x^{2} + y^{2})}^{3} = 16 x^{2} y^{2}$ 为四叶玫瑰线，它是一个几何亏格为零的代数曲线，这种曲线在苜蓿叶型立交桥的布局中有非常广泛的应用，首蓿叶型立交桥有两层，将所有原来需要穿越相交道路的转向都由环形匝道来实现，即让左转车辆行驶环道后自右侧切向汇入高速公路，四条环形匝道就形成了苜蓿叶的形状．给出下列结论正确的是（）

A、曲线C只有两条对称轴 B、曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点） C、曲线C上任意一点到标原点O的距离都不超过2 D、曲线C上的任一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为2

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三、填空题

13. 二项式 ${(x^{2} + \frac{3}{x})}^{6}$ 展开式中含 $x^{3}$ 项的系数为．

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14. 为调动我市学生参与课外阅读的积极性，我市制定了《进一步加强中小学课外阅读指导的实施方案》，有序组织学生开展课外阅读活动，某校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如下图．若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”称号，其他学生得到“诗词爱好者”称号，根据该次比赛的成绩，按照称号的不同，进行分层抽样抽选15名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{n} + S_{n} = 1$ ，则 $\frac{S_{1}}{a_{1}} + \frac{S_{2}}{a_{2}} + \dots + \frac{S_{8}}{a_{8}} =$ ．

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16. 已知F为抛物线 $y^{2} = x$ 的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 2$ （其中点O为坐标原点），则 $△ A B F$ 面积的最小值是．

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，C，已知 $2 a + b = 2 c \cos B$ ．

(1)、求角C；

(2)、若CD是角C的平分线， $A D = 2 \sqrt{7}$ ， $D B = \sqrt{7}$ ，求CD的长．

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d > 1$ ，前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{3} = 9$ ， $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式

(2)、若 $b_{n} = 2^{n - 1}$ ，判断 $a_{n}$ 与 $b_{n} (n \in N^{*})$ 的大小，并说明理由．

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19. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情席卷金球，我国在全力保障口罩、防护服等医疗物资供给基础上，重点开展医疗救治急需的呼吸机、心电监护仪等医疗设备的组织生产和及时供应，统筹协调医用物资生产企业高速生产，支援世界各国抗击肺炎疫情．我市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1目~9月9日连续9天的呼吸机日生产量为 $y_{i}$ （单位：百台， $i = 1 ， 2 ， \dots ， 9$ ），数据作了初步处理；得到如图所示的散点图．

$\bar{y}$

$\bar{z}$

$\bar{t}$

$\sum_{i = 1}^{9} t_{i}^{2}$

$\sum_{i = 1}^{9} t_{i} z_{i}$

2.73

19

5

285

1095

注：图中日期代码1~9分别对应9月1日~9月9日；表中 $z_{i} = e^{y_{i}}$ ， $\bar{z} = \frac{1}{9} \sum_{i = 1}^{9} z_{i}$

参考公式：回归直线方程是 $v = \hat{β} μ + \hat{α}$ ； $\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (μ_{i} - \bar{μ}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(μ_{i} - \bar{μ})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} μ_{i} v_{i} - n \bar{μ} \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} μ_{_{i}}^{2} - n {(\bar{μ})}^{2}}$ ， $\hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{μ}$ ，

参考数据： $e^{5} \approx 148.4$ ．

(1)、从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于200台的概率；

(2)、由散点图分析，样本点都集中在曲线 $y = \ln (b t + a)$ 的附近，求y关于t的方程 $y = \ln (b t + a)$ ，并估计该公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台．

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20. 如图，在四棱锥 $B - A C D E$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面ACDE， $△ A B C$ 是等边三角形，在直角梯形ACDE中， $A E // C D$ ， $A E ⊥ A C$ ， $A E = 1$ ， $A C = C D = 2$ ，P是棱BD的中点．

(1)、求证： $E P ⊥$ 平面BCD；

(2)、设点M在线段AC上，若平面PEM与平面EAB所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ，求MP的长．

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21. 已知函数 $f (x) = 2 a \ln x + \frac{1}{x^{2}} (a \in R)$

(1)、当 $a = 1$ 时，求证：函数 $f (x)$ 没有零点；

(2)、若存在两个不相等正实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ，且 $x_{1} x_{2} = 1$ ，求实数a的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线 $x + y + 2 \sqrt{2} - 1 = 0$ 与以椭圆C的右焦点为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆相切．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、 $△ B M N$ 是椭圆C的内接三角形，若坐标原点O为 $△ B M N$ 的重心，求点B到直线MN距离的取值范围．

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$\bar{y}$	$\bar{z}$	$\bar{t}$	$\sum_{i = 1}^{9} t_{i}^{2}$	$\sum_{i = 1}^{9} t_{i} z_{i}$
2.73	19	5	285	1095