吉林省长春市2021届高三理数四模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5},$ 则 $(C_{U} A) \cap (C_{U} B) =$ （）

A、{6} B、 ${1, 6}$ C、 ${2, 3}$ D、 ${1, 4, 5, 6}$

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2. 在复平面内，复数 $6 + 5 i$ 与 $- 3 + 4 i$ 对应向量 $\vec{O A}$ 与 $\vec{O B}$ ，则向量 $\vec{A B}$ 对应的复数是（）

A、 $- 1 + 9 i$ B、 $9 + i$ C、 $- 9 - i$ D、 $9 - i$

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3. 在第十三届女排世界杯赛中，中国女排以不败战绩夺得冠军，女排精神一直激励着全国人民在各行各业为祖国的腾飞而努力拼搏.在女排世界杯赛闭幕后，某收视调查机构对某社区内2000名居民收看比赛的情况用随机抽样方式进行调查，样本容量为100，将数据分组整理后，列表如下：

观看场数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
观看人数占调查人数的百分比	2%	2%	4%	6%	m%	12%	8%	10%	12%	16%	12%	10%

从表中可以得出正确的结论为（）

A、表中m的值为8 B、估计观看比赛不低于5场的人数是860人 C、估计观看比赛场数的众数为8 D、估计观看比赛不高于3场的人数是280人

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4. 如图，①②③④中不属于函数 $y = \log_{2} x$ ， $y = \log_{0.5} x$ ， $y = - \log_{3} x$ 的一个是（）

A、① B、② C、③ D、④

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5. 给出一个程序框图，输出的结果为s=132，则判断框中应填（）

A、 $i \geq 11$ ? B、 $i \geq 10$ ? C、 $i \leq 11$ ? D、 $i \leq 12$ ?

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6. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} = \frac{9}{4}, a_{4} + a_{5} = 18$ ，则其前5项的积为（）

A、64 B、81 C、192 D、243

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7. 已知圆柱上下底面圆周均在球面上，且圆柱底面直径和高相等，则该球与圆柱的体积之比为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{5}}{3}$ B、 $\frac{5 \sqrt{5}}{6}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{4 \sqrt{2}}{6}$

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8. 学校从高一､高二､高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5､6､7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为（）

A、 $\frac{7}{18}$ B、 $\frac{7}{30}$ C、 $\frac{9}{15}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $\forall n \in N^{*}, S_{n} \leq S_{7}$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的通项公式可能是（）

A、 $a_{n} = 16 - 3 n$ B、 $a_{n} = 15 - 2 n$ C、 $a_{n} = 2 n - 14$ D、 $a_{n} = 2 n - 15$

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10. 摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要 $30min$ .已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度 $H (m)$ 关于时间 $t (\min)$ 的函数关系式为 $H = 65 - 55 \cos \frac{π}{15} t (0 \leq t \leq 30)$ ，若甲､乙两人的座舱之间有7个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（）

A、 $25m$ B、 $27 .5m$ C、 $25 \sqrt{3} m$ D、 $55m$

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11. 已知F是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，若直线 $y = k x$ 与椭圆相交于 $A ， B$ 两点，且 $∠ A F B = 60 °$ ，则椭圆离心率的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， 1)$ B、 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ C、 $(0 ， \frac{1}{2})$ D、 $(\frac{1}{2} ， 1)$

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12. 已知定义域为 $R$ 的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) + x f^{'} (x) > 1$ （ $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数），则不等式 $(1 + x) f (1 - x^{2}) > f (1 - x) + x$ 的解集为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， 1]$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(0 ， 1) \cup (1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. $\int_{0}^{1}$ x²dx= ．

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14. 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在x轴上，其一条渐近线的方程为 $x - \sqrt{3} y = 0$ ，且过点 $(2 \sqrt{3}, \sqrt{3})$ ，则该双曲线的方程为.

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15. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中(侧棱与底面垂直的三棱柱)， $A B ⊥ A C$ ， $∠ A C B = 30^{\circ}$ ，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 为正方形，M为 $A_{1} B$ 中点，则直线 $C_{1} M$ 与直线 $A B$ 所成角的余弦值为.

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16. 某校数学建模社团对校外一座山的高度h(单位： $m$ )进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距a米两处分别观测山顶的仰角 $α$ 和 $β$ ( $β > α$ )，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型 $h =$ ；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行n次测量，其误差 $ε_{n}$ 近似满足 $ε_{n} \sim N (0 ， \frac{2}{n})$ ，为使误差 $ε_{n}$ 在 $(- 0.5 ， 0.5)$ 的概率不小于0.9973，至少要测量次.参考数据：若占 $ξ \sim N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - 3 σ < ξ ， μ + 3 σ) = 0.9973$ .

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三、解答题

17. 在① $a \cos B - \frac{1}{2} b = c$ ；② $a^{2} - b^{2} = c (b + c)$ 这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答.
问题：在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知___________.

(1)、求角A；

(2)、若 $\sin B = 3 \sin C, a = \sqrt{13}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 在某班组织的一次篮球定点投篮比赛中，规定：每人最多投三次，在A处每投中一球得3分，在B处每投中一球得2分，如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次.某同学在A处投中的概率为0.25，在B处投中的概率为b，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投.用 $ξ$ 表示该同学投篮比赛结束后所得的总分，其分布列为

$ξ$

0

2

3

4

5

p

0.03

$p_{1}$

$p_{2}$

$p_{3}$

$p_{4}$

(1)、求b的值；

(2)、求随机变量 $ξ$ 的数学期望 $E (ξ)$ .

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19. 如图，四面体 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C ， B C ⊥ C D ， C D ⊥ A B$ .

(1)、指出四面体各面中与平面 $A C D$ 垂直的面，并加以证明；

(2)、若 $A B = B C = 1$ ，二面角 $C - A D - B$ 的大小为 $α$ ，当 $C D$ 长度变化时，求 $α$ 取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = (x - 1) \ln x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若对任意的 $x > 0$ ，有 $f (a x + 1) < 2 x e^{2 x} - 2 x$ 恒成立，求实数a的取值范围.

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21. 过抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点F作不平行于x轴的直线交抛物线于A，B两点，过A，B分别作抛物线的切线相交于C点，直线 $C F$ 交抛物线于D，E两点.

(1)、求 $k_{A B} \cdot k_{C E}$ 的值；

(2)、证明： $| C E | \cdot | D F | = | C D | \cdot | F E |$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \cos θ \\ y = \sin θ \end{array}$ ( $θ$ 为参数)．若以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 1$ .

(1)、求出曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若射线 $θ = θ_{1}$ （不包括端点）与曲线 $C$ 和直线 $l$ 分别交于 $A ， B$ 两点，当 $θ_{1} \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{3})$ 时，求 $| O A | \cdot | O B |$ 的取值范围.

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23. 已知函数 $f (x) = m - | x + 2 |$ ， $m \in R$ ，且 $f (x - 2) \geq 0$ 的解集为 $[- 3 ， 3]$ .

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若 $a$ ， $b$ ， $c$ 是正实数，且 $a + 2 b + 3 c = m$ ，求证： $\frac{1}{a} + \frac{1}{2 b} + \frac{1}{3 c} \geq 3$ .

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$ξ$	0	2	3	4	5
p	0.03	$p_{1}$	$p_{2}$	$p_{3}$	$p_{4}$