江西省重点中学协作体2021届高三理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {(x, y) ∣ 2 x - y + 1 = 0}, B = {(x, y) ∣ x + a y = 0}$ ，若 $A \cap B = \emptyset$ ，则实数 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、2 C、-2 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{5}{1 - 2 i}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $z$ 的共轭复数是 $- 1 + 2 i$ B、 $z$ 的虚部是 $2 i$ C、 $z^{2} \in R$ D、 $| z | = \sqrt{5}$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ ，且经过点 $P (\sqrt{2}, \sqrt{2})$ ，则该双曲线的方程是（）

A、 $\frac{x^{2}}{2} - y^{2} = 1$ B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 1$

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4. 设平面向量 ${\vec{e}}_{1}$ 与向量 ${\vec{e}}_{2}$ 互相垂直，且 ${\vec{e}}_{1} + 2 {\vec{e}}_{2} = (- 3 ， 4)$ ，若 $| {\vec{e}}_{1} | = 3$ ，则 $| \vec{e_{2}} | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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5. 设 $a = 3^{0.7} ， b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.8} ， c = \log_{0.7} 0.8$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < a < b$

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6. 若曲线 $f (x) = x^{2} + x ln x$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与直线 $x - a y + 1 = 0$ 平行，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、2

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7. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{2} = 5 ， S_{5} = 35$ ，则 $S_{10} =$ （）

A、100 B、110 C、120 D、130

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8. 已知函数 $f (x) = sin (ω x + θ) (ω > 0 ， - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2})$ 蛇图象上相邻的两条对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 后得到奇函数 $g (x)$ 的图象，则 $f (0) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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9. 2021年4月15日，是第六个全民国家安全教育日，教育厅组织宣讲团到某市的六个不同高校进行国家安全知识的宣讲，时间顺序要求是：高校甲必须排在第二或第三个，且高校甲宣讲结束后需立即到高校丁宣讲，高校乙､高校丙的宣讲顺序不能相邻，则不同的宣讲顺序共有（）

A、28种 B、32种 C、36种 D、44种

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10. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 是等边三角形，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C ， A B = \sqrt{3} ， A C = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ C A B = 60^{\circ}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球体积为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、 $\frac{12 \sqrt{3} π}{3}$ C、 $\frac{32 π}{3}$ D、 $\frac{64 \sqrt{2} π}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{- x} - 2, x \leq 0 \\ a x (ln x - 1), x > 0 \end{array}$ ，若不等式 $f (x) \geq - 1$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, 0]$ B、 $(- 1, 0]$ C、 $[0, 1]$ D、 $[0, e]$

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12. 已知 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上两个不同的点，且满足 $x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} = 2$ ，则 $| x_{1} + y_{1} - 8 | + | x_{2} + y_{2} - 8 |$ 的最大值为（）

A、 $2 \sqrt{3} + 8 \sqrt{2}$ B、 $8 + \sqrt{6}$ C、 $4 \sqrt{3} + 16 \sqrt{2}$ D、 $16 + 2 \sqrt{6}$

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二、填空题

13. 已知二项式 ${(x - \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中，二项式系数之和为32.则该展开式中含 $x^{2}$ 项的系数为.

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14. 已知实数 $x ， y$ 满足 ${\begin{array}{l} x + 3 \geq 0 \\ x - y + 2 \leq 0 ， \\ 2 x + y - 2 \leq 0 \end{array}$ 则 $z = x - 2 y$ 的最大值为.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足： $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = 6, a_{3} = 3$ ，则 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \frac{1}{a_{4}} + \frac{1}{a_{5}} =$ .

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16. 已知拋物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相交于点 $A (2, x_{0})$ ，点 $A$ 关于原点 $O$ 对称的点为 $B .$ 若过点 $B$ 的直线(且不过点 $A$ )与抛物线交于 $C, D$ 两点，则直线 $A C$ 与 $A D$ 的斜率之积为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $cos 2 A = 1 + 3 cos (B + C)$

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、点 $D$ 在线段 $A C$ 上， $B D = B C ， cos ∠ A B D = \frac{13}{14}$ 且 $A C = 5$ ，求边长 $B D .$

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18. 等边三角形 $A B C$ 的边长为 $3$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 上的点且 $A D = C E = 1.$ 如图甲，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使四棱锥 $A_{1} - D B C E$ 的体积最大.连接 $A B$ 、 $A_{1} C$ ，如图乙，点 $M$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、求证： $E M //$ 平面 $A_{1} B C$ ；

(2)、求二面角 $C - A_{1} E - B$ 的余弦值.

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19. 2020年5月27日，中央文明办明确规定，在2020年全国文明城市测评指标中不将马路市场､流动商贩列为文明城市测评考核内容.6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济､小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机.其中套圈游戏凭借其趣味性和挑战性深受广大市民的欢迎，现有甲､乙两人进行套圈比赛，要求他们站在定点A ， B两点处进行套圈，已知甲在A ， B两点的命中率均为 $\frac{1}{3}$ ，乙在A点的命中率为 $p (\frac{1}{2} \leq p < 1)$ ，在B点的命中率为 $2 p - 1$ ，且他们每次套圈互不影响.

(1)、若甲在A处套圈4次，求甲至少命中2次的概率；

(2)、若甲和乙每人在A ， B两点各套圈一次，且在A点命中计2分，在B点命中计3分，未命中则计0分，设甲的得分为 $X$ ，乙的得分为 $Y$ ，写出 $X$ 和 $Y$ 的分布列和期望；

(3)、在（2）的条件下，若 $E (X) > E (Y)$ ，求 $p$ 的取值范围

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20. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{2}, 0), F_{2} (\sqrt{2}, 0)$ ，且点 $(\sqrt{2}, 1)$ 在椭圆 $C$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、设直线 $l : y = k x + m$ 与椭圆 $C$ 交于两个不同的点 $A, B$ ，点 $O$ 为坐标原点，则当 $△ A O B$ 的面积 $S$ 最大时，求线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹方程.

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21. 已知函数 $f (x) = 2 x - a e^{x} (a \in R) ， g (x) = x (x - ln x + 1)$ .

(1)、讨论函数 $y = f (x) ， x \in R$ 的单调性；

(2)、若对于任意的 $x \in (0 ， + \infty)$ ，不等式 $f (x) > g (x)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 4 + \frac{\sqrt{3}}{2} t \\ y = \frac{1}{2} t \end{array}$ (其中 $t$ 为参数)､在以 $O$ 为极点 $x$ 轴的非负半轴为极轴的极坐标系(两种坐标系的单位长度相同)中，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = 4 \sqrt{3} ρ sin (\frac{π}{3} + θ) - 3$

(1)、求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $M$ 的直角坐标为 $(- 4, 0)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，弦 $A B$ 的中点为 $E, N$ 是曲线 $C$ 上异于 $A, B$ 的点，求 $Δ M N E$ 面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = | x + m | + 2 | x - 1 | - 5 (m > 0)$ 的一个零点为2，

(1)、求不等式 $f (x) < 3$ 的解集；

(2)、设函数 $g (x) = f (x) - | x - 1 | + 5$ 的最小值为 $t$ ，且正实数 $a, b, c$ 满足 $a + b + \frac{1}{c} = 2 t$ ，求证： $a b + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \leq \frac{16}{3}$ .

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