江西省南昌市2021届高三理数三模试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设全集为R ，已知集合 $A = {x | \ln x < 0}, B = {x | e^{x} < e}$ ，则 $A \cup (∁_{R} B) =$ （）

A、R B、 $[1, + \infty)$ C、 $[0, + \infty)$ D、 $(0, + \infty)$

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2. 若复数z满足 $(1 + i) (z - 2) = 2 i$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $3 + i$ B、 $3 - i$ C、 $- 3 + i$ D、 $- 3 - i$

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3. 已知自由落体运动的速度 $v = g t$ ，则自由落体运动从 $t = 0 s$ 到 $t = 2 s$ 所走过的路程为（）

A、g B、 $2 g$ C、 $4 g$ D、 $8 g$

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4. 若函数 $f (x) = {\begin{matrix} \log_{2} x, x > 0 \\ 4 \sin x, x \leq 0 \end{matrix}$ ，则 $f (f (- \frac{5 π}{4})) =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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5. 已知公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5}^{2} + a_{6}^{2} = a_{7}^{2} + a_{8}^{2}$ ，则（）

A、 $a_{6} = 0$ B、 $a_{7} = 0$ C、 $S_{12} = 0$ D、 $S_{13} = 0$

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6. 若变量x ， y满足 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 \\ x - y + 2 \leq 0 \\ y \leq 4 \end{array}$ ，则目标函数 $z = | x | - 2 y$ 的最小值为（）

A、-8 B、-6 C、-10 D、-4

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7. 随机变量X服从正态分布，有下列四个命题：
① $P (X \geq k) = 0.5$ ；② $P (X < k) = 0.5$ ；③ $P (X > k + 1) < P (X < k - 2)$ ；④ $P (k - 1 < X < k) > P (k + 1 < X < k + 2)$ ．若只有一个假命题，则该假命题是（）

A、① B、② C、③ D、④

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8. 将方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根称为函数 $f (x)$ 的“新驻点”．记函数 $f (x) = e^{x} - x ， g (x) = \ln x$ ， $h (x) = \sin x ， x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 的“新驻点”分别为a ， b ， c ，则（）

A、 $c < a < b$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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9. 平安夜苹果创意礼品盒，如图1所示，它的形状可视为一个十面体，其中上下底面为全等的正方形，八个侧面是全等的等腰三角形如图2，底面正方形 $A B C D$ 的边长为2，上底面 $E F G H$ 与下底面 $A B C D$ 之间的距离为 $\sqrt{2} + 1$ ，则该几何体的侧面积为（）

A、 $6 \sqrt{6}$ B、 $8 \sqrt{6}$ C、 $16 \sqrt{2}$ D、 $12 \sqrt{2}$

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10. 如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R ，圆形轨道Ⅲ的半径为r ，则下列结论中正确的序号为（）

①轨道Ⅱ的焦距为 $R - r$ ；②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；③轨道Ⅱ的长轴长为 $R + r$ ；④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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11. 已知函数 $f (x) = \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 与直线 $y = a (0 < a < 2)$ 在第一象限的交点横坐标从小到大依次分别为 $x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n} ， \dots$ ，则 $f (x_{1} - 2 x_{2} - 3 x_{3}) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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12. 已知直线 $l ： x - y + 4 = 0$ 与x轴相交于点A ，过直线l上的动点P作圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 的两条切线，切点分别为C ， D两点，记M是 $C D$ 的中点，则 $| A M |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{17}$ D、3

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二、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ ，若 $| \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}} | = 1$ ，则 $| \bar{e_{1}} - \vec{e_{2}} | =$ ．

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14. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{6} = 9 S_{3}$ ， $S_{3} = λ a_{3}$ ，则 $λ =$ ．

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15. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ ，圆 ${(x - c)}^{2} + y^{2} = 4 c^{2}$ 与双曲线C在第一象限的交点为A ，若 $A F_{1}$ 与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为．

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16. 球面几何学是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等面都有广泛的应用，如图，A ， B ， C是球面上不同的大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三个点中任意两点的大圆的劣弧分别为 $\overset{⌢}{A B} ， \overset{⌢}{B C} ， \overset{⌢}{C A}$ ，由这三条劣弧围成的图形称为球面 $△ A B C$ ．已知地球半径为R ，北极为点N ， P ， Q是地球表面上的两点若P ， Q在赤道上，且 $| P Q | = \sqrt{2} R$ ，则球面 $△ N P Q$ 的面积为；若 $N P = P Q = Q N = \frac{2 \sqrt{6}}{3} R$ ，则球面 $△ N P Q$ 的面积为．

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三、解答题

17. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D ， ∠ B C D = 135 ° ， B D = \sqrt{5} C D = \sqrt{10}$ ．

(1)、求 $\sin ∠ C B D$ 的值；

(2)、若 $△ A B D$ 的面积为4，求 $A D$ 的长．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ⊥$ 平面 $P A B$ ， $A B // C D$ ，若 $D C = D P = 2$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $A P = 1$ ， $A B = 3$ ．

(1)、求证： $A P ⊥ A B$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D P$ 所成的角的正弦值．

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19. 已知抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ ，过点 $P (1, - 2)$ 作斜率为 $k (k > 0)$ 的直线l与抛物线C相交于A ， B两点．

(1)、求k的取值范围；

(2)、记P点关于x轴的对称点为Q点，若 $△ Q A B$ 的面积为16，求直线l的方程．

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20. 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或向右滚下，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图1所示的高尔顿板有7层小木块，小球从通道口落下，第一次与第2层中间的小木块碰撞，以 $\frac{1}{2}$ 的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2，…，7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽，则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下.

(1)、如图1，进行一次高尔顿板试验，求小球落入5号球槽的概率；

(2)、小红､小明同学在研究了高尔顿板后，利用高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动.小红使用图1所示的高尔顿板，付费6元可以玩一次游戏，小球掉入m号球槽得到的奖金为 $ξ$ 元，其中 $ξ = | 16 - 4 m |$ .小明改进了高尔顿板(如图2)，首先将小木块减少成5层，然后使小球在下落的过程中与小木块碰撞时，有 $\frac{1}{3}$ 的概率向左， $\frac{2}{3}$ 的概率向右滚下，最后掉入编号为1，2，……，5的球槽内，改进高尔顿板后只需付费4元就可以玩一次游戏，小球掉入n号球槽得到的奖金为 $η$ 元，其中 $η = {(n - 4)}^{2}$ .两位同学的高尔顿板游戏火爆进行，很多同学参加了游戏，你觉得小红和小明同学谁的盈利多？请说明理由.

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21. 已知定义在实数集R上的偶函数 $f (x)$ 的最小值为3，且当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = 3 e^{x} + a$ ，其中e是自然对数的底数．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、求最大的整数 $m (m > 1)$ ，使得存在 $t \in R$ ，只要 $x \in [1 ， m]$ ，就有 $f (x + t) \leq 3 e x$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 1 + 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为： $θ = θ_{0} (θ_{0} \in [0, π), ρ \in R)$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、设A ， B是曲线 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 的公共点，若 $\frac{1}{| O A |} + \frac{1}{| O B |} = \frac{4}{3}$ ，求曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 3 | + 2 | x - 1 |$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小值m；

(2)、已知 $a > 0 ， b \geq 0$ ，若 $a + 2 b = m$ 时，正常数t使得 $t a + a b$ 的最大值为2，求t的值．

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