广东省惠州市2021届高三二模数学试题

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{x - 2}}$ ， $B = {y | y = \sqrt{x - 2}}$ ， $C = {(x, y) | y = \sqrt{x - 2}}$ ，则下列集合不为空集的是（）

A、 $A \cap B$ B、 $A \cap C$ C、 $B \cap C$ D、 $A \cap B \cap C$

查看试题解析
2. 若复数 $z$ 满足 $| z - i | \leq 2$ ，则 $z \bar{z}$ 的最大值为（）

A、1 B、2 C、4 D、9

查看试题解析
3. 同学们都知道平面内直线方程的一般式为 $A x + B y + C = 0$ ，我们可以这样理解：若直线 $l$ 过定点 $P_{0} (x_{0}, y_{0})$ ，向量 $\overset{⇀}{n} = (A, B)$ 为直线 $l$ 的法向量，设直线 $l$ 上任意一点 $P (x, y)$ ，则 $\vec{n} \cdot \vec{P_{0}} P = 0$ ，得直线 $l$ 的方程为 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0$ ，即可转化为直线方程的一般式.类似地，在空间中，若平面 $α$ 过定点 $Q_{0} (1, 0, - 2)$ ，向量 $\overset{⇀}{m} = (2, - 3, 1)$ 为平面 $α$ 的法向量，则平面 $α$ 的方程为（）

A、 $2 x - 3 y + z + 4 = 0$ B、 $2 x + 3 y - z - 4 = 0$ C、 $2 x - 3 y + z = 0$ D、 $2 x + 3 y - z + 4 = 0$

查看试题解析
4. 将函数 $f (x) = \sin \frac{1}{2} x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，若 $x \in (0 ， m)$ 时，函数 $g (x)$ 的图象在 $f (x)$ 的上方，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{5 π}{6}$ D、 $\frac{π}{6}$

查看试题解析
5. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{n}{(n + 1)!}$ ，则其前 $n$ 项和为（）

A、 $1 - \frac{1}{(n + 1)!}$ B、 $1 - \frac{1}{n!}$ C、 $2 - \frac{1}{n!}$ D、 $2 - \frac{1}{(n + 1)!}$

查看试题解析
6. 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如：设一元三次方程 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0 (a \neq 0)$ 的3个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} + x_{2} x_{3} + x_{3} x_{1} = \frac{c}{a}$ ， $x_{1} x_{2} x_{3} = - \frac{d}{a}$ .已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - x + 1$ ，直线 $l$ 与 $f (x)$ 的图象相切于点 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ ，且交 $f (x)$ 的图象于另一点 $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ ，则（）

A、 $2 x_{1} - x_{2} = 0$ B、 $2 x_{1} - x_{2} - 1 = 0$ C、 $2 x_{1} + x_{2} + 1 = 0$ D、 $2 x_{1} + x_{2} = 0$

查看试题解析
7. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的焦距为2，若以点 $P (m ， n) (m < a)$ 为圆心的圆 $P$ 过 $C$ 的右顶点且与 $C$ 的两条渐近线相切，则 $O P$ 长的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(\frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{2})$

查看试题解析
8. 已知正数 $x$ ， $y$ ， $z$ 满足 $x \ln y = y e^{z} = z x$ ，则 $x$ ， $y$ ， $z$ 的大小关系为（）

A、 $x > y > z$ B、 $y > x > z$ C、 $x > z > y$ D、以上均不对

查看试题解析

二、多选题

9. 已知 $X \sim N (μ_{1}, σ_{1}^{2})$ ， $Y \sim N (μ_{2}, σ_{2}^{2})$ ， $μ_{1} > μ_{2}$ ， $σ_{1} > 0$ ， $σ_{2} > 0$ ，则下列结论中一定成立的有（）

A、若 $σ_{1} > σ_{2}$ ，则 $P (| X - μ_{1} | \leq 1) < P (| Y - μ_{2} | \leq 1)$ B、若 $σ_{1} > σ_{2}$ ，则 $P (| X - μ_{1} | \leq 1) > P (| Y - μ_{2} | \leq 1)$ C、若 $σ_{1} = σ_{2}$ ，则 $P (X > μ_{2}) + P (Y > μ_{1}) = 1$ D、若 $σ_{1} = σ_{2}$ ，则 $P (X > μ_{2}) + P (Y > μ_{1}) < 1$

查看试题解析
10. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{n} + S_{n} = A n^{2} + B n + C$ ，则下列说法中正确的有（）

A、存在 $A$ ， $B$ ， $C$ 使得 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、存在 $A$ ， $B$ ， $C$ 使得 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、对任意 $A$ ， $B$ ， $C$ 都有 ${a_{n}}$ 一定是等差数列或等比数列 D、存在 $A$ ， $B$ ， $C$ 使得 ${a_{n}}$ 既不是等差数列也不是等比数列

查看试题解析
11. 已知矩形 $A B C D$ 满足 $A B = 1$ ， $A D = 2$ ，点 $E$ 为 $B C$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿 $A E$ 折起，点 $B$ 折至 $B^{'}$ ，得到四棱锥 $B^{'} - A E C D$ ，若点 $P$ 为 $B^{'} D$ 的中点，则（）

A、 $C P //$ 平面 $B^{'} A E$ B、存在点 $B^{'}$ ，使得 $C P ⊥$ 平面 $A B^{'} D$ C、四棱锥 $B^{'} - A E C D$ 体积的最大值为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ D、存在点 $B^{'}$ ，使得三棱锥 $B^{'} - A D E$ 外接球的球心在平面 $A E C D$ 内

查看试题解析
12. 将平面向量 $\overset{⇀}{a} = (x_{1}, x_{2})$ 称为二维向量，由此可推广至 $n$ 维向量 $\overset{⇀}{a} = (x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{n})$ .对于 $n$ 维向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，其运算与平面向量类似，如数量积 $\overset{⇀}{a} \cdot \overset{⇀}{b} = | \overset{⇀}{a} | | \overset{⇀}{b} | \cos θ = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i}$ （ $θ$ 为向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角），其向量 $\vec{a}$ 的模 $| \overset{⇀}{a} | = \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}$ ，则下列说法正确的有（）

A、不等式 $(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}) \leq {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i})}^{2}$ 可能成立 B、不等式 $(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2}) \geq {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i})}^{2}$ 一定成立 C、不等式 $n \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} < {(\sum_{i = 1}^{n} x_{i})}^{2}$ 可能成立 D、若 $x_{i} > 0 (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, n)$ ，则不等式 $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i}} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \geq n^{2}$ 一定成立

查看试题解析

三、填空题

13. 文旅部在2021年围绕“重温红色历史、传承奋斗精神”“走进大国重器、感受中国力量”“体验美丽乡村、助力乡村振兴”三个主题，遴选推出“建党百年红色旅游百条精品线路”.这些精品线路中包含上海一大会址、嘉兴南湖、井冈山、延安、西柏坡等5个传统红色旅游景区，还有港珠澳大桥、北京大兴国际机场、“中国天眼”、“两弹一星”纪念馆、湖南十八洞村、浙江余村、贵州华茂村等7个展现改革开放和新时代发展成就、展示科技强国和脱贫攻坚成果的景区.为安排旅游路线，从上述12个景区中选3个景区，则至少含有1个传统红色旅游景区的选法有种.

查看试题解析
14. 满足等式 $(1 - \tan α) (1 - \tan β) = 2$ 的数组 $(α ， β)$ 有无穷多个，试写出一个这样的数组.

查看试题解析
15. 若向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} - \overset{⇀}{b} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值为.

查看试题解析
16. 对于函数 $f (x) = \ln x + m x^{2} + n x + 1$ ，有下列4个论断：甲：函数 $f (x)$ 有两个减区间；乙：函数 $f (x)$ 的图象过点 $(1, - 1)$ ；丙：函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处取极大值；丁：函数 $f (x)$ 单调.若其中有且只有两个论断正确，则 $m$ 的取值为.

查看试题解析

四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，点 $D$ 满足 $3 \vec{B D} = \vec{B C}$ 与 $\vec{A D} \cdot \vec{A C} = 0$ .

(1)、若 $b = c$ ，求 $A$ 的值；

(2)、求 $B$ 的最大值.

查看试题解析
18. 请在① $a_{1} = \sqrt{2}$ ；② $a_{1} = 2$ ；③ $a_{1} = 3$ 这3个条件中选择1个条件，补全下面的命题使其成为真命题，并证明这个命题.命题：已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n}^{2}$ ，若 ▲ ，则当 $n \geq 2$ 时， $a_{n} \geq 2^{n}$ 恒成立.

查看试题解析
19. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B B_{1} = 2 B C = 2$ ， $∠ C B B_{1} = 2 ∠ C A B = \frac{π}{3}$ ，且平面 $A B C ⊥$ 平面 $B_{1} C_{1} C B$ .

(1)、求证：平面 $A B C ⊥$ 平面 $A C B_{1}$ ；

(2)、设点 $P$ 为直线 $B C$ 的中点，求直线 $A_{1} P$ 与平面 $A C B_{1}$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
20. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $P$ 是抛物线 $C_{1} ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上的一个点，其横坐标为 $x_{0}$ ，过点 $P$ 作抛物线 $C_{1}$ 的切线 $l$ .

(1)、求直线 $l$ 的斜率（用 $x_{0}$ 与 $p$ 表示）；

(2)、若椭圆 $C_{2} ： \frac{y^{2}}{2} + x^{2} = 1$ 过点 $P$ ， $l$ 与 $C_{2}$ 的另一个交点为 $A$ ， $O P$ 与 $C_{2}$ 的另一个交点为 $B$ ，求证： $A B ⊥ P B$ .

查看试题解析
21. 运用计算机编程，设计一个将输入的正整数 $k$ “归零”的程序如下：按下回车键，等可能的将 $[0, k)$ 中的任意一个整数替换 $k$ 的值并输出 $k$ 的值，反复按回车键执行以上操作直到输出 $k = 0$ 后终止操作.

(1)、若输入的初始值 $k$ 为3，记按回车键的次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的概率分布与数学期望；

(2)、设输入的初始值为 $k (k \in N^{*})$ ，求运行“归零”程序中输出 $n (0 \leq n \leq k - 1)$ 的概率.

查看试题解析
22. 设 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{n}} (n \in N^{*})$ .
（参考数据： $e \approx 2.72$ ， $e^{2} \approx 7.39$ ， $e^{3} \approx 20.10$ ）

(1)、求证：函数 $f (x)$ 一定不单调；

(2)、试给出一个正整数 $a$ ，使得 $e^{x} > x^{2} \ln x + a \sin x$ 对 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 恒成立.

查看试题解析