2021届高三下学期5月普通高中理数教育教学质量监测考试（全国1卷）试卷

试卷更新日期：2021-06-01 类型：高考模拟

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 1 \leq 0}$ ， $B = {x | 1 - 2 x < 0}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $[- 1, \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty, 1]$ C、 $[\frac{1}{2}, 1]$ D、 $[- 1, + \infty)$

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2. 设复数z满足 $\frac{z}{\bar{z}}$ 为纯虚数，z在复平面内所对应的点的坐标为 $(x, y)$ ，则（）

A、 $x - y = 0$ B、 $x + y = 0$ C、 $(x - y) (x + y) = 0$ D、 $x^{2} + y^{2} = 1$

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3. 数据显示2021年3月以来文化类旅游的市场占比显著提升，某旅游服务平台收集并整理了2021年3月1日至7日期间某文化类景区门票日订单量（单位：万张）和增长速度的数据，绘制了右边的统计图.则下列结论正确的是（增长速度=（本期数一上期数）/上期数）（）

A、7天的增长速度逐日增加 B、7天中有3天的增长速度为正 C、7天的增长速度的平均值为负 D、3月6日的订单量约为3.19（万张）

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4. 函数 $f (x) = | x | (e^{x} - e^{- x})$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 《九章算术》是中国古代张苍，耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国，秦，汉时期的数学成就.其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”.则第4人所得钱数为（）

A、 $\frac{1}{2}$ 钱 B、 $\frac{2}{3}$ 钱 C、 $\frac{5}{6}$ 钱 D、1钱

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6. 已知 $a = \sqrt{2}$ ， $b = 3^{\frac{1}{3}}$ ， $c = \log_{3} 2$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $c < a < b$ D、 $a < c < b$

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7. 已知点 $D$ ， $O$ 分别为圆锥的顶点和底面圆心， $△ A B C$ 为锥底面的内接正三角形， $A D = A B$ ，则异面直线 $A D$ 与 $B O$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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8. 已知 $A$ ， $B$ 是抛物线 $E : y^{2} = x$ 上的点， $C$ 是 $x$ 轴上的点， $A C ⊥ x$ 轴， $△ A B C$ 为等边三角形，则 $A$ 的横坐标为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、3 D、 $\frac{16}{3}$

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9. 已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在圆 $O$ 上， $| \vec{O A} + \vec{O B} | = | \vec{O A} - \vec{O B} |$ ， $λ \vec{O A} - μ \vec{O B} = \vec{O C}$ ，则 $λ^{2} + μ^{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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10. 10个不同的数排成4行，第1行1个数，第2行2个数，第3行3个数，第4行4个数，设 $a_{k}$ 是第 $k$ （ $k = 1$ ，2，3，4）行中的最大数，则 $a_{1} < a_{2} < a_{3} < a_{4}$ 的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{2}{15}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{5}{12}$

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11. 设函数 $f^{'} (x)$ 是奇函数 $f (x) (x \neq 0)$ 的导函数， $f (- 1) = - 1$ .当 $x > 0$ 时， $f^{'} (x) > 1$ ，则使得 $f (x) > x$ 成立的x的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) \cup (0 ， 1)$

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12. 已知正方体木块 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为4， $P$ ， $Q$ ， $R$ 分别是棱 $A B$ ， $A D$ ， $A A_{1}$ 上的点， $△ P Q R$ 是边长为 $2 \sqrt{2}$ 的等边三角形，若将正方体木块切割成以 $△ P Q R$ 为底面的直三棱柱，则三棱柱的高的最大值为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13. 设x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \leq x + 2 ， \\ y \geq 2 x ， \\ 2 x + 3 y \geq - 6 ， \end{array}$ 则 $z = x + y$ 的最小值为.

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14. 已知函数 $f (x) = {\begin{cases} x^{3} ， x \geq 0 \\ - x^{2} ， x < 0 \end{cases}$ ，若对于任意的 $x \in R$ ， $| f (x) | \geq a x$ ，则 $a =$ .

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15. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左焦点为F，O为坐标原点，P为双曲线C右支上一点， $| P F | - | P O | = 2 a$ ，则双曲线C的离心率的取值范围是.

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n}^{2} + a_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{n + 1} b_{n} = a_{n}$ .若 $S_{100} < k (k \in Z)$ ，则k的最小值为.

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，设 $\sqrt{2} c \sin (B + \frac{π}{4}) = a$ .

(1)、求C；

(2)、若 $c = 2$ ， $a = \sqrt{2} b$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面是等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ B C C_{1} = 90 °$ ，四边形 $A C C_{1} A_{1}$ 是菱形， $∠ A C C_{1} = 120 °$ .

(1)、证明： $A_{1} C ⊥ A B_{1}$ ；

(2)、求二面角 $A - B B_{1} - C$ 的余弦值.

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19. 中国是世界上沙漠化最严重的国家之一，沙漠化造成生态系统失衡，可耕地面积不断缩小，对中国工农业生产和人民生活带来严重影响.随着综合国力逐步增强，西北某地区大力兴建防风林带，引水拉沙，引洪淤地，开展了改造沙漠的巨大工程，该地区于2017年投入沙漠治理经费2亿元，从2018年到2020年连续3年每年增加沙漠治理经费1亿元，近4年沙漠治理经费投入x（亿元）和沙漠治理面积y（万亩）的相关数据如下表所示：

年份

2017

2018

2019

2020

x

2

3

4

5

y

26

39

49

54

(1)、通过绘制散点图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；（结果保留3位小数）

(2)、建立y关于z的回归方程；

(3)、若保持以往的沙漠治理经费增加幅度，请预测到哪一年沙漠治理面积突破100万亩.
参考数据： $\sqrt{\sum_{i = 1}^{4} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} \approx 21.4$ ， $\sqrt{5} \approx 2.2$ ；

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ， $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x$ ..

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过左焦点F且与x轴垂直的弦长为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知 $A$ ， $B$ 为椭圆 $C$ 上两点， $O$ 为坐标原点，斜率为k的直线l经过点 $P (0 ， \frac{1}{2})$ ，若 $A$ ， $B$ 关于l对称，且 $O A ⊥ O B$ ，求l的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} e^{x} + \ln x$ .

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单润性，并证明 $f (x)$ 有且仅有一个零点：

(2)、若 $x (e^{x} - a) \geq \ln (e x)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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四、【选修4—4：坐标系与参数方程】

22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程 ${\begin{array}{l} x = a + \cos α \\ y = b + \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = 2 \cos θ$ .

(1)、若 $a^{2} + b^{2} = 1$ ， $C_{1}$ 与 $C_{2}$ ，有且只有1个公共点，求 $a$ ；

(2)、若 $a = b = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，曲线 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求 ${| A B |}^{2}$ .

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五、[选修4—5：不等式选讲]

23. 已知 $a$ ， $b$ 为正数，函数 $f (x) = | x - a | + | x + b |$ 的值域为 $[1 - c ， + \infty)$ .

(1)、若 $c = - 1$ ，证明： $a + b \geq 2 a b$ ；

(2)、若 $c > 0$ ，证明： $\frac{(1 - a) (1 - b) (1 - c)}{a b c} \geq 8$ .

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年份	2017	2018	2019	2020
x	2	3	4	5
y	26	39	49	54