2015-2016学年辽宁省重点高中协作校高一下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-09-21 类型：期末考试

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一、选择题

1. 点P从（﹣1，0）出发，沿单位圆x²+y²=1顺时针方向运动 $\frac{7}{3}$ π弧长到达Q，则Q点坐标（）

A、（﹣ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ） B、（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，﹣ $\frac{1}{2}$ ） C、（﹣ $\frac{1}{2}$ ，﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ） D、（﹣ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ）

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2. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知 P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（　　）

A、0.7 B、0.65 C、0.35 D、0.3

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3. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 为单位向量，其夹角为60°，则（2 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ）• $\vec{b}$ =（）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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4. sin（﹣15°）=（）

A、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

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5. 已知向量 $\vec{a}$ =（﹣2，1）， $\vec{b}$ =（3，0），则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的正射影的数量为（）

A、﹣ $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{5}$ C、﹣2 D、2

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6. 在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，则使△ABC有两解的x的范围是（）

A、 $(1 ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ B、（1，+∞） C、 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3} ， 2)$ D、（1，2）

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7. 如图的程序框图，如果输入三个实数a，b，c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（）

A、c＞x B、x＞a C、c＞b D、b＞c

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8. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若 $\frac{c}{a}$ ＜cosA，则△ABC为（）

A、钝角三角形 B、直角三角形 C、锐角三角形 D、等边三角形

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9. 设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且 $\vec{D C} = 2 \vec{B D}$ ， $\vec{C E} = 2 \vec{E A}$ ， $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $\vec{A D} + \vec{B E} + \vec{C F}$ 与 $\vec{B C}$ （）

A、反向平行 B、同向平行 C、互相垂直 D、既不平行也不垂直

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10. 设函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos (2 x + ϕ) + \sin (2 x + ϕ) (| ϕ | < \frac{π}{2})$ ，且其图象关于直线x=0对称，则（）

A、y=f（x）的最小正周期为π，且在（0， $\frac{π}{2}$ ）上为增函数 B、y=f（x）的最小正周期为π，且在（0， $\frac{π}{2}$ ）上为减函数 C、y=f（x）的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，且在 $（ 0 ， \frac{π}{4} ）$ 上为增函数 D、y=f（x）的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，且在 $（ 0 ， \frac{π}{4} ）$ 上为减函数

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11. 设O点在△ABC内部，且有 $\vec{O A} + 2 \vec{O B} + \vec{3 O C} = \vec{0}$ ，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、3 D、 $\frac{5}{3}$

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12. 已知在等边△ABC中，AB=3，O为中心，过O的直线与△ABC的边分别交于点M、N，则 $\frac{1}{O M}$ + $\frac{1}{O N}$ 的最大值是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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二、填空题

13. 高一某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本，则需要将全班同学分成组．

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14. 已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是锐角，则tan $\frac{α + β}{2}$ = ．

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15. 有一解三角形的题目因纸张破损，有一条件不清，具体如下：在△ABC中，已知a= $\sqrt{3}$ ，2cos² $\frac{A + C}{2}$ =（ $\sqrt{2}$ ﹣1）cosB，c= ，求角A，若该题的答案是A=60°，请将条件补充完整．

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16. 在△ABC中，∠ACB为钝角，AC=BC=1， $\vec{C O} = x \vec{C A} + y \vec{C B}$ 且x+y=1，函数 $f (m) = | \vec{C A} - m \vec{C B} |$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $| \vec{C O} |$ 的最小值为．

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三、解答题

17. 已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点 $M (\frac{π}{3} ， \frac{1}{2})$ ．

(1)、求f（x）的解析式；

(2)、已知 $α ， β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $f (α) = \frac{3}{5} ， f (β) = \frac{12}{13}$ ，求f（α﹣β）的值．

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18. 在锐角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且 $\sqrt{3} a$ =2csinA

(1)、确定角C的大小；

(2)、若c= $\sqrt{7}$ ，且△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求a+b的值．

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19. 如图，已知 $\vec{O P}$ =（2，1）， $\vec{O A}$ =（1，7）， $\vec{O B}$ =（5，1），设Z是直线OP上的一动点．

(1)、求使 $\vec{Z A}$ • $\vec{Z B}$ 取最小值时的 $\vec{O Z}$ ；

(2)、对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．

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20. 学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：
[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．

(1)、在给出的样本频率分布表中，求A，B，C，D的值；

(2)、估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；

(3)、为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在[135，150]的学生中选两位同学，共同帮助成绩在[60，75）中的某一位同学．已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为140分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率．
样本频率分布表：
分组
频数
频率
[60，75）
2
0.04
[75，90）
3
0.06
[90，105）
14
0.28
[105，120）
15
0.30
[120，135）
A
B
[135，150]
4
0.08
合计
C
D

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21. 某休闲农庄有一块长方形鱼塘ABCD，AB=50米，BC=25 $\sqrt{3}$ 米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建三条如图所示的观光走廊OE、EF和OF，考虑到整体规划，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，且∠EOF=90°．

(1)、设∠BOE=α，试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；

(2)、经核算，三条走廊每米建设费用均为4000元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．

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22. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量 $\vec{a}$ =（﹣1，2），又点A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．

(1)、若 $\vec{A B}$ ⊥ $\vec{a}$ ，且| $\vec{A B}$ |= $\sqrt{5}$ | $\vec{O A}$ |，求向量 $\vec{O B}$ ；

(2)、若向量 $\vec{A C}$ 与向量 $\vec{a}$ 共线，常数k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；

(3)、当（2）问中f（θ）的最大值4时，求 $\vec{O A}$ • $\vec{O C}$ ．

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分组	频数	频率
[60，75）	2	0.04
[75，90）	3	0.06
[90，105）	14	0.28
[105，120）	15	0.30
[120，135）	A	B
[135，150]	4	0.08
合计	C	D