山西省临汾市洪洞县2021年中考数学三模试卷

试卷更新日期：2021-05-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算-2-7的结果是（　　）

A、 $- 9$ B、9 C、 $- 5$ D、5

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2. 在“算经十书”中，《九章算术》是中国古代记载最全面完整的一部著作，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，而《海岛算经》则是中国最早的一部测量数学专著，使“中国在数学测量学的成就，超越西方约一千年”，这两本著作是下列哪位数学家留给后世的宝贵数学遗产．（）

A、杨辉 B、祖冲之 C、秦九韶 D、刘徽

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3. 下列运算错误的是（　　）

A、 $\sqrt{45} - \sqrt{20} = \sqrt{5}$ B、 ${(2 a + 3)}^{2} = 4 a^{2} + 9$ C、 $- 3 a^{2} b^{3} + 5 b^{3} a^{2} = 2 a^{2} b^{3}$ D、 ${(- \frac{b}{a^{2}})}^{3} = - \frac{b^{3}}{a^{6}}$

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4. 电池是能将化学能转化成电能的能量来源装置，在人们日常生活中发挥着重要作用．如图所示，是手电筒中经常使用的锂电池实物图，其形状呈圆柱形，则该物体的俯视图为（）

A、 B、 C、 D、

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5. 科学家构建的一台76个光子100个模式的量子计算机，它处理“高斯玻色取样”的速度比目前最快的超级计算机“富岳”快100万亿倍．即超级计算机需要一亿年完成的任务，“九章”只需一分钟完成．将数据“100万亿”用科学记数法可表示为（）

A、 $1.0 \times 10^{13}$ B、 $0.1 \times 10^{14}$ C、 $1.0 \times 10^{14}$ D、 $10 \times 10^{13}$

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6. 将一副三角板按如图所示摆放，直角三角尺 $A O B$ 的锐角顶点A与另一三角尺 $A C D$ 的直角顶点重合在一起，（其中 $∠ O A B = 45 °$ ， $∠ C = 60 °$ ），直角边 $A D$ 与 $O B$ 交于点E，若 $A B // C D$ ，则 $∠ B E D$ 的度数为（）．

A、 $60 °$ B、 $65 °$ C、 $70 °$ D、 $75 °$

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7. 蝶，通称为“蝴蝶”，属于节肢动物，体表具有分节的外骨骼，身体分为头、胸、腹三个部分，胸部长有两对翅膀，翅膀上各式各样的色彩上和斑纹是由翅膀上的鳞片组成．如图，是一只蝴蝶标本，已知表示蝴蝶两“翅膀尾部”A、B两点的坐标分别为 $(- 2 ， - 3)$ ， $(2 ， - 3)$ ，则表示蝴蝶身体“尾部”C点的坐标为（）

A、 $(0 ， - 1)$ B、 $(1 ， - 1)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(2 ， - 1)$

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8. 山西苹果产地主要集中在曲沃、襄汾、新绛、万荣、临猗、平陆等地，其中，以临猗苹果和万荣苹果较为著名．为了解不同品种苹果树的产量及稳定程度，某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种中各采摘了10棵树的苹果，每棵产量的平均数 $\bar{x}$ （单位：千克）及方差 $S^{2}$ （单位： ${kg}^{2}$ ）如表所示：

甲

乙

丙

丁

$\bar{x}$

160

200

180

170

$S^{2}$

2.7

1.8

3.1

1.8

若计划从四个品种中选择一种苹果树进行种植，根据苹果树的产量及稳定程度，较为合适品种是（　　）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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9. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 10$ 的图象经过正方形 $A B O C$ 的三个顶点A、B、C，A点为顶点，将该抛物线经过平移，使其顶点为C点，则平移后抛物线的表达式为（）

A、 $y = - \frac{1}{2} {(x - 5)}^{2} + 5$ B、 $y = - \frac{1}{2} {(x + 5)}^{2} + 5$ C、 $y = 2 {(x + 3)}^{2} - 4$ D、 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 4$

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10. 如图，将半径为2，圆心角为 $90 °$ 的扇形 $B A C$ 绕A点逆时针旋转，在旋转过程中，点B落在扇形 $B A C$ 的弧 $A C$ 的点 $B^{'}$ 处，点C的对应点为点 $C^{'}$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $\sqrt{3} + π$ B、 $π + \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{3} π + \sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2} π - \sqrt{3}$

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二、填空题

11. 化简： $\frac{2}{m^{2} - m} \div \frac{1}{m - 1} =$ ．

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12. 中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．是继美国全球定位系统（ $G P S$ ）、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统（ $G L O N A S S$ ）之后第三个成熟的卫星导航系统．在发射前，对我国最后一颗北斗卫星各零部件的调查，最适合采用的调查方式是．（填“普查”或“抽样调查”）

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13. 如图，是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成…按此规律排列下去，则第n个图案中的基础图形个数为．（用n的代数式表示）

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14. 如图，点A在双曲线 $y_{1} = \frac{9}{x} (x > 0)$ 上，过点A作 $A B ⊥ x$ 轴于点B，点C在线段 $A B$ 上且 $A C ： A B = 2 ： 3$ ，双曲线 $y_{2} = \frac{k}{x} (x > 0)$ 经过点C，则k的值为．

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15. 如图所示，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 8$ ， $B C = 6$ ，将 $△ A B C$ 绕点C逆时针旋转 $90 °$ 得到 $△ A^{'} B^{'} C$ ，连接 $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ ，并延长 $B B^{'}$ 交 $A A^{'}$ 于点D，则 $B^{'} D$ 的长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： ${(- 1)}^{3} + \sqrt{12} \cdot \cos 30 ° - {(- \frac{1}{3})}^{- 2}$

(2)、下面是小颖同学解一元一次不等式 $\frac{x + 3}{5} - \frac{2 x - 5}{3} \leq - 1$ 的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
解： $3 (x + 3) - 5 (2 x - 5) \leq - 15$ ，第一步

$3 x + 9 - 10 x - 25 \leq - 15$ ，第二步

$- 7 x \leq 1$ ，第三步

$x \geq - \frac{1}{7}$ ，第四步

任务一：填空：①以上运算步骤中，第步是进行去分母，去分母的依据是

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

任务二：请直接写出正确的计算结果；

任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，解一元一次不等式时，还需要注意的事项给其他同学提一条建议．

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17. 阅读下列材料，并按要求完成相应的任务．
你知道“皮克定理”吗？

“皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即 $S = a + \frac{1}{2} b - 1$ ，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图2中的多边形可以验证）这个公式是奥地利数学家皮克在1899年发现的，被称为“皮克定理”．

任务：

(1)、如图2，是 $6 \times 6$ 的正方形网格，且小正方形的边长为1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边形的面积是．

(2)、已知：一个格点多边形的面积S为19，且边界上的点数b是内部点数a的3倍，则 $a + b =$ ．

(3)、请你在图3中设计一个格点多边形．要求：①格点多边形的面积为8；②格点多边形是一个轴对称图形．

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18. 为积极响应国家提倡的“绿色”、“环保”、“节能”的人类生活新标准，智能家居逐步进入公众视野．智能家居是以住宅为平台，利用综合布线技术、网络通信技术、安全防范技术、自动控制技术、音视频技术将家居生活有关的设施集成，构建高效的住宅设施与家庭日程事务的管理系统，提升家居安全性、便利性、舒适性、艺术性，并实现环保节能的居住环境，根据所给信息，回答下列问题：

(1)、根据图1所给信息解答下列问题：
①图中2016－2022年全球智能家居市场规模的中位数是 ▲ 亿美元；

②试计算2020－2021年市场规模的增长率（精确到 $0.1 %$ ）；

③请你根据图表信息简单描述智能家居的市场规模情况，并对未来市场做出预测；

(2)、如图2，中国贵州的“扬子智能家居”有八大控制系统．厂家为作宣传，特举办如下活动：将其中的三个控制系统制成编号为W、X、Q的三张卡片（除编号和内容外完全相同）．他们将三张卡片背面朝上，洗匀放好，顾客从中随机抽取一张放回，再从中抽取一张．若抽到的两张卡片恰好是“智能音箱系统”和“智能安防系统”，则可获奖．请用列表或画树状图的方法求出顾客获奖的概率．

W．门窗系统

X．音箱系统

Q．安防系统

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19. 如图，是小清同学的数学笔记，任细阅读并完成任务：

在平行四边形 $A B C D$ 中， $A D > A B$ ，求作菱形，使点E、点F分别在 $B C$ 、 $A D$ 边上．（尺规作图，保留作图痕迹）

办法一：

以点B为圆心， $A B$ 长为半径，画弧交 $B C$ 于点E，再分别以点A、E为圆心，大于 $\frac{1}{2} A E$ 的相同长为半径画弧，两弧交于点P；连接 $B P$ 并延长交 $A D$ 于点F，连接 $E F$ ，则所得四边形 $A B E F$ 是菱形．

办法二：

连接 $A C$ ，分别以A、C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧交于M、N两点；连接 $M N$ ，分别与 $B C$ 、 $A D$ 、 $A C$ 交于E、F、O三点；连接 $A E$ 、 $C F$ ．则四边形 $A E C F$ 是菱形．

任务：

(1)、填空：“办法一”中，判别四边形

A B E F

是菱形的数学依据是；

(2)、在图2中，根据“办法二”的作图方法，使用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹）；

(3)、写出“办法二”的推理过程．

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20. 汾河古称“汾”，又称汾水，黄河的第二大支流，汾者，大也，汾河因此而得名．今年1月20日，太原市启动了史上规模最大的城市管理全面提升行动，对汾河景区进行大修改造和综合提升．现对一段全长为1200米的河岸进行植树造林，植树400米后、为了尽快完成任务，后来每天的工作效率比原计划提高 $25 %$ ，结果共用13天完成植树造林任务．

(1)、求原计划每天植树造林多少米？

(2)、若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增长了 $20 %$ ，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？

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21. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D是直径 $A B$ 上不与A，B重合的一点，过点D作 $C D ⊥ A B$ ，且 $C D = A B$ ，连接 $B C$ ，交 $⊙ O$ 于点F，在 $C D$ 上取一点E，使 $E F = E C$ ．

(1)、求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、当D是 $O A$ 的中点， $A B = 8$ 时，求 $C F$ 的长．

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22. 综合与实践背景阅读：
“旋转”即物体绕一个点或一个轴做圆周运动．在中国古典专著《百喻经·口诵乘船法而不解用喻》中记载：“船盘回旋转，不能前进．”而图形旋转即：在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．综合实践课上，“睿智”小组专门探究了正方形的旋转，情况如下：在正方形 $A B C D$ 中，点O是线段 $B C$ 上的一个动点，将正方形 $A B C D$ 绕点O顺时针旋转得到正方形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ （点 $A^{'}$ ， $B^{'}$ ， $C^{'}$ ， $D^{'}$ 分别是点A，B，C，D的对应点）．设旋转角为 $α$ （ $0 < α < 180 °$ ）．

(1)、操作猜想：
如图1，若点O是 $B C$ 中点，在正方形 $A B C D$ 绕点旋转过程中，连接 $A A^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $D D^{'}$ ，则线段 $A A^{'}$ 与 $D D^{'}$ 的数量关系是；线段 $A A^{'}$ 与 $B B^{'}$ 的数量关系是．

(2)、探究验证：
如图2，在（1）的条件下，在正方形 $A B C D$ 绕点 $O$ 旋转过程中，顺次连接点B， $B^{'}$ ，C， $C^{'}$ ，B．判断四边形 $B B^{'} C C^{'}$ 的形状，并说明理由．

(3)、拓展延伸：
如图3，若 $B O = 2 C O$ ，在正方形 $A B C D$ 绕点O顺时针旋转的过程中，设直线 $B B^{'}$ 交线段 $A A^{'}$ 于点P．连接 $O P$ ，并过点 $O$ 作 $O Q ⊥ B B^{'}$ 于点Q．请你补全图形，并直接写出 $\frac{O P}{O Q}$ 的值．

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23. 综合与探究在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + 2$ 的图象与x轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C．
P

(1)、求抛物线与直线 $A C$ 的函数解析式；

(2)、若点P是直线 $A C$ 上方抛物线上的一动点，过点P作 $P F ⊥ x$ 轴于点F，交直线 $A C$ 于点D，求线段 $P D$ 的最大值．

(3)、点M为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

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	甲	乙	丙	丁
$\bar{x}$	160	200	180	170
$S^{2}$	2.7	1.8	3.1	1.8


W．门窗系统	X．音箱系统	Q．安防系统