山东省济南市平阴县2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列实数中是无理数的是（）

A、 $- 1$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、0

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2. 如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2021年我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下9899万农村贫困人口全部脱贫，以优异成绩迎接建党100周年，用科学记数法表示9899万正确的是（）

A、 $989.9 \times 10^{5}$ B、 $9.899 \times 10^{7}$ C、 $9899 \times 10^{4}$ D、 $0.9899 \times 10^{8}$

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4. 下列图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，一块直角三角板的两个顶点分别在直尺的对边上．若 $∠ 1 = 25 °$ ，那么 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $25 °$ B、 $45 °$ C、 $65 °$ D、 $75 °$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $x^{4} + x^{4} = 2 x^{8}$ B、 $x^{3} \cdot x^{2} = x^{6}$ C、 ${(x^{2} y)}^{3} = x^{6} y^{3}$ D、 ${(x - y)}^{2} = x^{2} - y^{2}$

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7. 以下是某校九年级10名同学参加学校演讲比赛的统计表．则这组数据的众数和中位数分别为（）．

成绩/分

80

85

90

95

人数/人

1

3

4

2

A、85，87.5 B、85，85 C、85，90 D、90，90

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8. 反比例函数y= $\frac{k b}{x}$ 的图象如图所示，则一次函数y=kx+b（k≠0）的图象的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，把 $△ A B C$ 沿着 $B C$ 的方向平移到 $△ D E F$ 的位置，它们重叠部分的面积是 $△ A B C$ 面积的一半，若 $E C = 1$ ，则 $△ A B C$ 移动的距离是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $1 - \frac{\sqrt{2}}{2}$

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10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图中阴影部分的面积是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ - $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11. 2020年平阴街道进行拓宽改造，县城面貌焕然一新，拓宽后振兴街主路双向四车道16米宽，两边安装路灯，如图路灯的灯臂 $C D$ 长2米，且与灯柱 $B C$ 成 $120 °$ 角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线 $D O$ 与灯臂 $C D$ 垂直，当灯罩的轴线 $D O$ 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱 $B C$ 高度应该设计为（）

A、6米 B、 $(8 \sqrt{3} - 2)$ 米 C、 $(8 - 2 \sqrt{3})$ 米 D、 $(8 \sqrt{3} - 4)$ 米

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12. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 m x$ （m为常数），当 $- 1 \leq x \leq 2$ 时，函数值y的最小值为 $- 2$ ，则m的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ 或 $- \frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ 或 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{3}{2}$ 或 $- \frac{3}{2}$ 或 $\sqrt{2}$

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二、填空题

13. 分解因式： $a^{2} - 5 a =$ ．

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14. 在 $- 2$ ，1， $π$ ， $- 3$ ，0这5个数中，任取一个数是负数的概率是．

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15. 若二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 1 \\ 3 x - y = 3 \end{array}$ 的解为 ${\begin{array}{l} x = a \\ y = b \end{array}$ ，则a-b= ．

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16. 已知关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 有实数根，则k的取值范围是.

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17. 如图，已知点A是反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上的一个动点，连接OA，若将线段O A绕点O顺时针旋转90°得到线段OB，则点B所在图象的函数表达式为．

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18. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，O是对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点，M是 $B C$ 边上的动点（点M不与 $B ， C$ 重合）， $C N ⊥ D M$ ， $C N$ 与 $A B$ 交于点N，连接 $O M ， O N ， M N$ ．下列五个结论：① $△ C N B$ ≌ $△ D M C$ ；② $△ C O N$ ≌ $△ D O M$ ；③ $△ O M N$ ∽ $△ O A D$ ；④ $A N^{2} + C M^{2} = M N^{2}$ ；⑤若 $A B = 2$ ，则 $S_{△ O M N}$ 的最小值是1，其中正确结论有

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三、解答题

19. 计算： $| - 3 | + {(π - 3)}^{0} - \sqrt{4} + \tan 45 °$

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20. 求不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x - 4 < x \\ \frac{x + 5}{3} + x ⩾ 3 \end{array}$ 的整数解，

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21. 如图，BD是▱ABCD的对角线，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：AE=CF．

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22. 为进一步推广大课间活动，某中学对已开设的A实心球，B立定跳远，C跑步，D足球四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图1，图2的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：

(1)、本次共调查了名学生；

(2)、将条形统计图和扇形统计图补充完整，则扇形统计图C的圆心角度数为；

(3)、随机抽取了3名喜欢“跑步”的学生，其中有1名男生，2名女生，现从这3名学生中任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到一男生一女生的概率．

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点P是 $B A$ 延长线上一点， $P C$ 是 $⊙ O$ 的切线，切点为C，过点B作 $B D ⊥ P C$ 交 $P C$ 的延长线于点D，连接 $B C$ ．求证：

(1)、 $B C$ 平分 $∠ P B D$ ；

(2)、若 $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $B D = 3$ ，求 $⊙ O$ 的直径 $A B$ 的长．

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24. 2020年我县加大玫瑰产业的宣传，平阴玫瑰香飘世界，某商店在2019年至2021年期间销售一种玫瑰礼盒.2019年，该商店用3500元购进了这种礼盒且全部售完；2021年，这种礼盒的进价比2019年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2019年相同数量的礼盒也全部售完．礼盒的售价均为60元/盒．

(1)、2019年这种礼盒的进价是多少元/盒？

(2)、若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，求19-21年增长率是多少？

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25. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，点D的坐标为 $(4 ， 3)$ ．

(1)、求反比例函数的关系式；

(2)、若将菱形边 $O D$ 沿x轴正方向平移，当点D落在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上时，求线段 $O D$ 扫过图形的面积．

(3)、在x轴上是否存在一点P使 $P A + P B$ 有最小值，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

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26. $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 都是等边三角形， $△ D C E$ 绕点C旋转，连接 $A E ， B D$ ．

(1)、猜测发现：如图1， $A E$ 与 $B D$ 是否相等？若相等，加以证明；若不相等，请说明理由．

(2)、问题解决：若 $B 、 C 、 E$ 三点不在一条直线上，且 $∠ A D C = 30 ° ， A D = 4 ， C D = 3$ ，求 $B D$ 的长．

(3)、拓展运用：若 $B 、 C 、 E$ 三点在一条直线上（如图2），且 $△ A B C$ 和 $△ D C E$ 的边长分别为1和2， $△ A C D$ 的面积及 $\tan ∠ A D C$ 的值．

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27. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 8 (a \neq 0)$ 与x轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B (8 ， 0)$ ，与y轴交于点C，顶点为D，连接 $A C ， B C ， B C$ 与抛物线的对称轴l交于点E．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、点P是第一象限内抛物线上的动点，连接 $P B ， P C$ ，当 $S_{△ P B C} = \frac{3}{5} S_{△ A B C}$ 时，求点P的坐标；

(3)、点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线 $E D$ 上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与 $△ O B C$ 相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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成绩/分	80	85	90	95
人数/人	1	3	4	2