辽宁省大连市甘井子区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个数中，最小的是（）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $0$ D、 $1$

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2. 如图是由 $5$ 个相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 2020年，我国国内生产总值首次突破 $100$ 万亿，接近 $1016000$ 万亿，数 $1016000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $101.6 \times 10^{4}$ B、 $10.16 \times 10^{5}$ C、 $1.016 \times 10^{6}$ D、 $0.1016 \times 10^{7}$

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4. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 50 °$ ， $∠ A C B = 70 °$ ， $C D / / A B$ ，则 $∠ A C D$ 的度数是（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $80 °$

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5. 平面直角坐标系中，点P（4，2）关于y轴对称的点的坐标是（）

A、 $(4, 2)$ B、 $(4, - 2)$ C、 $(- 4, 2)$ D、 $(- 4, - 2)$

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6. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} + a^{3} = a^{6}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{2}$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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7. 一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字1、2、2、3、3、3，掷小正方体后，向上一面的数字，出现“ 2 ”的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图，矩形 $A O B C$ 各点的坐标分别为 $A (0 ， 3)$ ， $O (0 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ， $C (4 ， 3)$ ，以原点O为位似中心，将这个矩形缩小为原来的 $\frac{1}{2}$ ，则点C对应点的坐标是（）

A、 $(2 ， \frac{3}{2})$ B、 $(- 2 ， - \frac{3}{2})$ C、 $(- 4 ， - 3)$ D、 $(2 ， \frac{3}{2})$ 或 $(- 2 ， - \frac{3}{2})$

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9. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a < 0$ ）与x轴的一个交点坐标为 $(1 ， 0)$ ；对称轴是直线 $x = - 1$ ，其部分图象如图所示，当 $y > 0$ 时，x的取值范围是（）

A、 $x < 1$ B、 $x > - 3$ C、 $- 3 < x < 1$ D、 $x < - 3$ 或 $x > 1$

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10. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A逆时针旋转得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，延长 $C B$ 交 $B^{'} C^{'}$ 于点D，若 $∠ B A B^{'} = 40 °$ ，则 $∠ C^{'} D C$ 的度数是（）

A、 $30 °$ B、 $40 °$ C、 $50 °$ D、 $70 °$

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二、填空题

11. 不等式 $3 x - 1 > 5 x + 1$ 的解集是．

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12. 若关于x的一元二次方程x²+6x+k=0有两个相等的实数根，则k= ．

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13. 九年级某班10名同学的实心球投掷成绩如下表所示．

实心球成绩（单位：m）

人数

$11$

$2$

$9$

$3$

$8$

$5$

这10名同学实心球投掷的平均成绩为m ．

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14. 在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，可列方程为．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的顶点A与D在函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象上， $A C ⊥ x$ 轴，垂足为C， $∠ B C O = 30 °$ ，点B的坐标为 $(0 ， 1)$ ，则k的值为．

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16. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，点E在边 $A B$ 上，点F在边 $B C$ 上， $∠ D E F = 90 °$ ， $D F$ 的延长线与射线 $A B$ 相交于点G，设 $A E = 1$ ，则 $B G$ 的长为．

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三、解答题

17. 计算： ${(\sqrt{3} + 1)}^{2} - \sqrt{12} + 2 \sqrt{\frac{1}{3}}$ ．

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18. 计算： $\frac{x^{2} - 6 x + 9}{x - 3} \div \frac{x^{2} - 3 x}{x + 3} - 1$ ．

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19. 已知： $Δ A B C$ 中， $∠ A B C = ∠ A C B$ ，点 $D 、 E$ 分别为边 $A B 、 A C$ 的中点，求证： $B E = C D$ ．

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20. 某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试．以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分．

成绩等级	频数（人）	频率
优秀
良好	$20$	$0.4$
及格
不及格	$5$

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为人，成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为%；

(2)、被测试女生的总人数为人，成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为%；

(3)、若该校九年级共有

240

名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数．

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21. 如图要测量古塔 $A B$ 的高度，在塔前平地上点C、D处观测塔尖A，仰角分别为 $37 °$ 和 $45 °$ ，C、D之间的距离为21m，求古塔的高度．（结果取整数．参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° = 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ）

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22. 甲、乙两车先后从A城出发前往B城，乙到达B城后立即以原速度返回A城，在整个行程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）与甲车的行驶时间t（单位：h）的函数图象如图所示．

(1)、甲车的速度为 $km/h$ ；

(2)、求甲出发后多长时间与乙车再次相遇．

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23. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D = B D$ ，过点D作 $⊙ O$ 的切线交 $B C$ 延长线于点P．

(1)、求证： $A B / / D P$ ．

(2)、若 $B C = 3$ ， $D P = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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24. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，点D是 $A B$ 的中点，点E从点B出发，沿边 $B C \to C A$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度向终点A运动，连接 $D E$ ，以 $A D$ ， $D E$ 为邻边作 $▱ A D E F$ ．设点E的运动时间为t（秒）， $▱ A D E F$ 与 $△ A B C$ 重合部分面积为S．

(1)、当点F在 $A C$ 边上时，求t的值；

(2)、求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

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25. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为角平分线，点E在边 $A C$ 上， $∠ A B E = ∠ C$ ， $A D$ 、 $B E$ 交于F， $F G / / A C$ 交 $B C$ 于G．

(1)、求证： $B D = B F$ ；

(2)、在图中找到一条与 $C D$ 相等的线段，请指出这条线段，并证明你的结论；

(3)、当 $A F = A E$ ，且 $\cos ∠ A E F = k$ 时，求 $C D ： F G$ 的值（用含有k的式子表示）．

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26. 已知函数 $y = x^{2} - m x + m$ ，将其图象不在y轴左侧的部分向下平移 $1$ 个单位，与图象的其余部分组成一个新的图象，记为图象G．

(1)、当 $m = 2$ 时，
①直接写出图象G对应的函数表达式；

②点 $Q (k ， 3)$ 在图象G上，求k的值；

(2)、设图象G最低点的纵坐标为 $y_{0}$ ，若 $- 2 \leq y_{0} \leq 0$ ，直接写出m的取值范围；

(3)、若点M在函数 $y = x^{2} - m x + m$ 的图象上，且横坐标为 $m - 1$ ，作点M关于直线 $x = - 1$ 的对称点N，当点M不在直线 $x = - 1$ 上时，以点M、N为顶点构造矩形 $M N P Q$ ，使点P、Q落在x轴上，当图象G在矩形 $M N P Q$ 内的部分所对应的函数值y随x的增大而成小时，直接写出m的取值范围；

(4)、矩形 $A B C D$ 的顶点坐标分别为 $A (- 4 ， 1)$ 、 $B (- 4 ， - 4)$ 、 $C (3 ， - 4)$ 、 $D (3 ， 1)$ ，若图象G与矩形 $A B C D$ 的边有两个公共点，求m的取值范围．

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实心球成绩（单位：m）	人数
$11$	$2$
$9$	$3$
$8$	$5$