吉林省长春市汽开区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 如图．数轴上点A对应的数是2，将点A沿数轴向左移动3个单位至点B ，则点B对应的数是（）

A、-1 B、0 C、3 D、5

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2. 如图，某一时刻“学习强国APP”数据显示阅读量为403000人次．将403000这个数用科学记数法表示为（）

A、 $403 \times 10^{3}$ B、 $4 .03 \times 10^{5}$ C、 $4 .03 \times 10^{6}$ D、 $0.403 \times 10^{6}$

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3. 如图所示的几何体的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 不等式 $4 x < 3 x + 1$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. （九章算术）中记载：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集面且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等.5只雀，6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各重多少斤？”设每只雀重x斤，每只燕重y斤，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 4 x + y = 5 y + x \\ 5 x + 6 y = 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + y = 6 y + x \\ 5 x + 6 y = 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 6 x = 7 y \\ 5 x + 6 y = 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x = 6 y \\ 5 x + 6 y = 1 \end{array}$

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6. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆 $A B$ 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪．测得旗杆顶的仰角 $∠ A C E = α$ ；（2）量得测角仪的高度 $C D = 1.2$ 米；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 $D B = m$ 米．利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）

A、 $(1.2 + \frac{m}{\sin α})$ 米 B、 $(1.2 + \frac{m}{\tan α})$ 米 C、 $(1.2 + m \sin α)$ 米 D、 $(1.2 + m \tan α)$ 米

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7. 如图： $∠ A O B = 30 °$ ．按下列步骤作图：①在射线 $O A$ 上取一点C ，以点O为圆心， $O C$ 长为半径作圆弧 $D E$ ，交射线 $O B$ 于点F ．连结 $C F$ ；②以点F为圆心， $C F$ 长为半径作圆弧，交弧 $D E$ 于点G；③连结 $F G$ 、 $C G$ ．作射线 $O G$ ．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A、 $∠ A O G = 60 °$ B、 $O F$ 垂直平分 $C G$ C、 $O G = C G$ D、 $O C = 2 F G$

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8. 如图，矩形 $A B C D$ 的顶点A、B、C的坐标分别为 $(0 ， 5)$ 、 $(0 ， 2)$ 、 $(1 ， 2)$ ，将矩形 $A B C D$ 向右平移t个单位，若平移后的矩形 $A B C D$ 与函数 $y = \frac{10}{x}$ （ $x > 0$ ）的图象有公共点，则t的取值范围是（）

A、 $0 \leq t \leq 4$ B、 $1 \leq t \leq 4$ C、 $1 \leq t \leq 5$ D、 $2 \leq t \leq 5$

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二、填空题

9. 计算： $\sqrt{5} \times \sqrt{2} =$ ．

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10. 分解因式： $a^{2} - 9 =$ ．

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11. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - m = 0$ 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是．

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12. 如图，直线 $l_{1} // l_{2}$ ，直线l与 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 分别交于A、B两点．若 $∠ 1 = 57 °$ ，则 $∠ 2$ 的大小为．

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13. 如图，在正五边形 $A B C D E$ 中， $A B = 2$ ．分别以顶点A、B、C、D、E为圆心、 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径在正五边形 $A B C D E$ 内作圆弧，则图中阴影部分图形的面积为．（结果保留 $π$ ）

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14. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 2$ （ $a > 0$ ）的对称轴为直线 $x = \frac{5}{2}$ ，该物线交y轴于点A ．交过点A且平行于x轴的直线于另一点B ，过点 $M (0 ， 2)$ 且平行于x轴的直线交该抛物线于C、D两点（点C在点D右边），连结 $A C$ ．若点B关于直线 $A C$ 的对称点 $B^{'}$ 恰好落在线段 $M C$ 上，则 $C D$ 的长为．

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三、解答题

15. 先化简，再求值： ${(x + y)}^{2} - x (x - y)$ ，其中 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = \frac{1}{2}$ ．

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16. 现有三张不透明的卡片，其中两张卡片的正面图案为“红旗车新车标”，第三张卡片的正面图案为“红旗车老车标”，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这三张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张，记录图案后放回，重新洗匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求两次抽出的卡片上的图案都是“红旗车新车标”的概率．（图案为“红旗车新车标”的两张卡片分别记为 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ ，图案为“红旗车老车标”的卡片记为B）

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17. 图①、图②、图③均是 $5 \times 5$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段 $A B$ 的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，按要求在图①、图②、图③中以 $A B$ 为边各画一个菱形 $A B C D$ ．
要求：菱形 $A B C D$ 的顶点C、D均在格点上，且所画的三个菱形不全等．

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18. 某扶贫干部决定引进改良的中药种子帮助贫困户脱贫．他先花8000元购买了桔梗种子，又花6000元购买了白术种子，已知他购买的这两种种子质量相等，且桔梗种子比白术种子每千克多20元，求白术种子每千克多少元？

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19. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D$ 是 $⊙ O$ 的弦，C为 $A B$ 延长线上的点， $∠ D A C = ∠ D C A = 30 °$ ．

(1)、求证： $D C$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为6，求 $\overset{⌢}{A D}$ 的长．（结果保留 $π$ ）

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20. 4月15日为全民国家安全教育日，为提升学生国家安全意识，某校组织学生参加“国家安全知识竞赛”（满分为100分）．竞赛结束后，随机抽取甲、乙两班各40名学生的成绩，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

a ．甲、乙两班各40名学生竞赛成绩的频数分布统计表如下：

成绩

班级

$50 \leq x < 60$

$60 \leq x < 70$

$70 \leq x < 80$

$80 \leq x < 90$

$90 \leq x \leq 100$

甲

乙

（说明：成绩80分及以上为优秀，70~79分为良好，60~69分为合格，60分以下为不合格）

b ．甲班成绩在 $70 \leq x < 80$ 这一组的是：

70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，78

c ．甲、乙两班成绩的平均分、中位数、众数如下：

班级	平均分	中位数	众数
甲	74.2	n	85
乙	73.5	76	84

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、表中n的值为．

(2)、在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属班级排在前20名，由表中数据可知该学生是班的学生（填“甲”或“乙”），理由是．

(3)、按上述统计结果，估计该校1800名学生获得成绩优秀的学生人数．

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21. 为修建长春地铁，甲、乙两个工程队分别同时开挖两段隧道，所挖隧道的长度y（米）与挖掘时间x（时）之间的函数关系如图所示．

(1)、求甲工程队每小时挖隧道的长度．

(2)、求乙工程队所挖隧道的长度y（米）与挖掘时间x（时）之间的函数关系式．

(3)、当乙工程队比甲工程队多挖5米时，x的值为．

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22. （教材呈现）下图是华师版八年级上册数学教材第117页的部分内容．

把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点A、E、D在同一直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．

(1)、（问题解决）根据上面的教材内容，在证明勾股定理的过程中，需要先证明 $△ B E C$ 为等腰直角三角形，请你结合图①，写出证明 $△ B E C$ 为等腰直角三角形的过程．

(2)、（拓展应用）如图②，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2 \sqrt{2}$ ，P是对角线 $B D$ 的延长线上一点，以 $A P$ 为直角边在 $A P$ 边的右侧作 $△ A P E$ ，使 $∠ A P E = 90 °$ ， $A P = P E$ ．若 $B E = 4 \sqrt{5}$ ，则 $\tan ∠ A P B =$ ， $△ B P E$ 的面积为．

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23. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A = 90 °$ ， $B C = 10$ ， $\sin B = \frac{3}{5}$ ．动点P从点A出发，沿 $A B$ 方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段 $A P$ 的中点，过点P作 $∠ M P B = ∠ B$ ，点M在 $A B$ 上方，且 $P M = 5 A Q$ ，以 $P Q$ 、 $P M$ 为边作 $▱ P Q N M$ ．设点P的运动时间为t秒．

(1)、线段 $A C$ 的长为，线段 $A B$ 的长为．

(2)、求 $▱ P Q N M$ 的面积．（用含t的代数式表示）

(3)、当线段 $M N$ 与边 $B C$ 有公共点时，求t的取值范围．

(4)、当点M到 $△ A B C$ 任意两边所在直线的距离相等时，直接写出此时t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (0 ， 6)$ 和 $B (- 2 ， - 2)$ ．

(1)、求c的值，并用含a的代数式表示b ．

(2)、当 $a = 1$ 时，
①求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．

②当 $- 4 \leq x \leq 2$ 时，求y的最大值和最小值．

(3)、若线段 $C D$ 的端点C、D的坐标分别为 $(- 5 ， 10)$ 、 $(1 ， 10)$ ，此二次函数的图象与线段 $C D$ 只有一个公共点，直接写出a的取值范围．

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