吉林省长春市二道区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 下列四个数表示在数轴上，它们对应的点中，离原点最近的是（　　）

A、 $- 2$ B、1.3 C、 $- 0.4$ D、0.6

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2. 2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天文一号”探测器实施近火捕获制动，顺利进入近火点高度约400千米，成为我国第一颗人造火星卫星，实现“绕、着、巡”第一步“绕”的目标，环绕火星获得成功，其中“400千米”用科学记数法可以表示为（　　）

A、 $4 \times 10^{5}$ 米 B、 $4 \times 10^{6}$ 米 C、 $0.4 \times 10^{6}$ 米 D、 $400 \times 10^{3}$ 米

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3. 某校九年级（1）班在“迎中考百日誓师”活动中打算制做一个带有正方体挂坠的倒计时牌挂在班级，正方体的每个面上分别书写“成功舍我其谁”六个字.如图是该班同学设计的正方体挂坠的平面展开图，那么“我”字对面的字是（　　）

A、舍 B、我 C、其 D、谁

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4. 下列运算正确的是（　　）

A、 $2 m n - m n = 2$ B、 $m^{2} \cdot m^{3} = m^{6}$ C、 $m^{- 2} \div m = m^{- 3}$ D、 ${(- m^{2})}^{3} = m^{6}$

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5. ⊙O是一个正n边形的外接圆，若⊙O的半径与这个正n多边形的边长相等，则n的值为（　　）

A、3 B、4 C、5 D、6

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6. 如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东 $37^{\circ}$ 方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时，B处与灯塔P的距离BP的长可以表示为（）

A、40海里 B、 $40 tan 37^{\circ}$ 海里 C、 $40 cos 37^{\circ}$ 海里 D、 $40 sin 37^{\circ}$ 海里

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7. 如图小张同学的尺规作图步骤，其具体做法如下：①在射线 $A D$ 上顺次截取 $A B = B C = a$ ，②分别以B、C为圆心，以a为半径作圆弧，两弧交于点E ， ③连结 $A E$ 、 $B E$ 、 $C E$ ，则下列说法错误的是（　　）

A、 $△ B C E$ 为等边三角形 B、 $△ A C E$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ C、 $\sin A = \frac{1}{2}$ D、 $∠ A E C = 3 ∠ A$

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8. 如图，在平面直角坐标系，等腰直角 $△ A B C$ 的顶点A、B均在函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，点C在y轴正半轴上， $∠ A C B = 90 °$ ，若点A的横坐标为 $- 2$ ，点B的纵坐标为1，则k的值为（　　）

A、1 B、2 C、4 D、6

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二、填空题

9. 分解因式： $a^{3} - a b^{2}$ =.

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10. 如果关于x的不等式ax＞2的解集为x＜ $\frac{2}{a}$ ，写出一个满足条件的a= ．

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11. 关于x的方程 $x^{2} = a - 1$ 有实数根，则a的取值范围为．

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12. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为 $A B$ 、 $C D$ ，若 $C D // B E$ ， $∠ 1 = 30 °$ ，则 $∠ 2$ 的大小为度．

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13. 如图，在△ABC中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ，以点A为圆心， $A C$ 长为半径画弧，交边 $A B$ 于点D ，以点B为圆心， $B D$ 长为半径画圆弧，交边 $B C$ 于点E ，若 $A C = 2$ ，则图中阴影部分图形的面积和为．（结果保留π）

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14. 若点 $P (a ， b)$ 在抛物线 $y = - x^{2} + 2 x - 1$ ，则 $a + b$ 的最大值为．

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三、解答题

15. 计算： $6 \sin 45 ° - \sqrt{18} + | 2 - \sqrt{3} | + {(2 \sqrt{2} - 3)}^{0}$ ．

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16. 2021年是中国辛年，小明将收集到的以下3张牛年邮票分别放到A、B、C三个完全相同的盒子中，现从中随机抽取一个盒子．

(1)、“小明抽到80分邮票”是事件（填“随机”“不可能”或“必然”）

(2)、小明将抽取的盒子放回，再随机抽取一个盒子，用画树状图（或列表）的方法，求小明抽到的两个盒子恰好是150分邮票和50分邮票的概率．

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17. 某游乐园采用手机APP购票，智能闸机验票的方式，大大缩短了游客排队购票、验票的等待时间，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求游乐园原来平均每分钟接待游客的人数．

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18. 图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，点P为 $△ A B C$ 内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．

(1)、在图①中 $△ A B C$ 的边 $A C$ 上确定一点O ，使 $P Q$ 的长最短．

(2)、在②中 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上确定一点M ，边 $B C$ 上确定一点N ，连结 $P M$ 、 $P N$ ，使 $△ P M N$ 的周长最短，最短周长为．

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19. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A D = C D$ ，E是对角线 $B D$ 上一点，且 $E A = E C$ ．

(1)、求证：四边形 $A B C D$ 是菱形．

(2)、若 $\tan ∠ B D C = \frac{1}{2}$ ， $D E = E C = 2$ ，则 $C D$ 的长为．

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20. 2020年底，全国范围餐饮行业禁止使用不可降解的一次性塑料吸管，很多餐饮企业“换装”，用纸吸管或直饮杯盖代替塑料吸管，某校数学兴趣小组想了解该校所在区域奶茶店减少使用塑料吸管情况，因此在2021年4月5日这天随机调查了该校区所在区域20家奶茶店售卖饮品杯数n（单位：杯）的情况，将统计结果分为： $A ： 50 \leq n < 150$ ； $B ： 150 \leq n < 250$ ； $C ： 250 \leq n < 350$ ； $D ： 350 \leq n < 350$ ； $C ： 450$ $\leq n < 550$ ，并绘制了如下频数分布直方图．
20家奶茶店售卖饮品杯数频数分布直方图

其中，C组数据为：265，341，253，292，312，345，278．

(1)、该兴趣小组同学在进行数据的收集调查时，在明确调查问题、确定调查对象后，还完成了以下4个步骤，下面就是该打乱顺序的步骤，正确的顺序是（用序号写出即可）
①记录结果；②得出结论；③展开调查；④选择调查方法

(2)、被调查的20家奶茶店当天售卖饮品杯数的中位数为．

(3)、该校数学兴趣小组同学统计出4月5日当日走访的奶茶店共销售饮品5820杯，这些饮品均使用纸吸管，假设以前每杯陪一根塑料吸管，若该区域共有500家奶茶店，每根吸管用塑料0.5克，则估计该校所在区域500家奶茶店4元5日当天共减少使用塑料吸管多少克？

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21. 在抗击“新冠肺炎”疫情期间，需要印刷一批宣传单．某印刷厂由甲、乙两台机器同时印刷，甲机器印刷一段时间后，出现故障，停下来维修，排除故障后继续以原来的速度印刷．两台机器还需印刷总量 $y$ （份）与印刷时间 $x$ （分钟）的函数关系如图所示．

(1)、甲机器维修的时间是分钟，甲乙两台机器一分钟共印宣传单份；

(2)、求线段AB的函数解析式，并写出自变量的取值范围；

(3)、若甲机器没有发生故障，可提前多少分钟印刷完这批宣传单．

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22. （问题提出）小慧同学遇到这样一道问题，如图①，在 $△ A B C$ 中，点D为边 $A C$ 的中点．以点D为圆心， $A C$ 为直径作圆， $∠ A C B$ 的平分线交此圆于点P ，点P在 $△ A B C$ 的内部，连结 $B P$ ．

求证： $△ B P C$ 的面积等于 $△ A B C$ 面积的一半．

(1)、（问题解决）小慧的做法是连结 $A P$ 并延长，交CB于点Q ，利用 $△ A C Q$ 形状的特殊性解决问题，请你利用小慧的做法完成（问题提出）中的证明．

(2)、（问题拓展）如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A C$ 平分 $∠ B A D$ ． $A C ⊥ B C$ ，若 $B D = 8$ ． $A B - A D = 3$ ，则 $△ B C D$ 面积的最大值为．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，点P从点A出发，沿折线 $A C - C B$ 以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段 $C P$ 的中点，点H在 $P Q$ 下方， $∠ H P Q = 90 °$ ， $∠ H Q P = ∠ A B C$ ，设点P运动的时间为t（秒）．

(1)、当点P在边 $A C$ 上运动时，
①线段 $P Q$ 的长为 ▲ ．用含t的代数式表示）

②若 $△ P Q H$ 与 $△ A B C$ 重叠部分为轴对称图形，求t的值．

(2)、当点H落在边 $A B$ 上时，求 $H B$ 的长．

(3)、取边 $Q H$ 的中点E ，边 $B C$ 的中点F ，连结 $E F$ ，当 $E F // A B$ 时，直接写出t的值．

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24. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 $y = a x^{2} + 2 x - 1 (a \neq 0)$ ，点 $A (- 1 ， m)$ 、 $B (2 ， n)$ 均在该抛物线上，将抛物线在点A、B之间的部分（包括A、B两点）记为图象G ．

(1)、分别用含a的代数式表示m、n的值；

(2)、设图象G最高点纵坐标与最低点纵坐标的差为h ．
①当 $a = - 1$ 时，求h的值；

②当图象G从左至右逐渐上升时，求h的最大值和最小值．

(3)、图象G上恰好有三个点到x轴的距离等于到直线 $y = a$ 的距离的2倍，直接写出a的取值范围．

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