广东省广州市白云区2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-28 类型：中考模拟

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一、单选题

1. $- 3$ 的相反数是（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、3 D、 $- 3$

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2. 在平面直角坐标系中，把点 $A (0 ， - 1)$ 向左平移2个单位长度，得到点B，点B的坐标为（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(0 ， - 3)$ C、 $(2 ， - 1)$ D、 $(- 2 ， - 1)$

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3. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{8} \div x^{2} = x^{4} (x \neq 0)$ B、 ${(m + n)}^{2} = m^{2} + n^{2}$ C、 $3 a + 2 b = 5 a b$ D、 ${(y^{3})}^{2} = y^{6}$

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4. 如图所示的三棱柱，其俯视图的内角和为（）

A、 $180 °$ B、 $360 °$ C、 $540 °$ D、 $720 °$

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5. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 8$ ， $D$ 是 $A C$ 上一点， $A D = 5$ ， $D E ⊥ A B$ ，垂足为E，则 $A E =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如图所示，则这些运动员成绩的中位数为（）

A、160 B、165 C、170 D、175

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7. 如图摆放一副三角尺， $∠ B = ∠ E D F = 90 °$ ，点E在 $A C$ 上，点D在 $B C$ 的延长线上， $E F // B C$ ， $∠ A = 30 °$ ， $∠ F = 45 °$ ，则 $∠ C E D =$ （）

A、 $15 °$ B、 $20 °$ C、 $25 °$ D、 $30 °$

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8. 关于x的方程 $x^{2} ﹣ 2 x + a = 0$ （a为常数）无实数根，则点 $(a ， a + 1)$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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9. 菱形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点O，且 $D E // A C$ ， $C E // D B$ ，则四边形 $O C E D$ 是（）

A、梯形 B、矩形 C、菱形 D、正方形

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10. 设函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ ， $y_{2} = - \frac{k}{x} (k > 0)$ ，当 $2 \leq x \leq 3$ 时，函数 $y_{1}$ 的最大值是a，函数 $y_{2}$ 的最小值是 $a - 4$ ，则 $a k =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、10

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二、填空题

11. 化简 $\sqrt{12} =$ ．

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12. 分解因式： $a x^{2} - a$ =

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13. 方程组 ${\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$ 的解是．

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14. 如图，把一张长方形的纸片对折两次，量出 $O A = 1$ ， $O B = 2$ ，然后沿 $A B$ 剪下一个 $△ A O B$ ，展开后得到一个四边形，则这个四边形的周长为．

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15. 如图，从一块直径为6的圆形铁皮上裁出一个圆心角为 $90 °$ 的扇形，把这个扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是．

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16. 如图，在平面直角坐标系中，有一个 $R t △ O A B$ ， $∠ A B O = 90 °$ ， $∠ A O B = 30 °$ ，直角边 $O B$ 在y轴正半轴上，点A在第一象限，且 $O A = 1$ ，将 $R t △ O A B$ 绕原点O逆时针旋转 $30 °$ ，同时把各边长扩大为原来的2倍（即 $O A_{1} = 2 O A$ ），得到 $R t △ O A_{1} B_{1}$ ，同理，将 $R t △ O A_{1} B_{1}$ 绕原点O逆时针旋转 $30 °$ ，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到 $R t △ O A_{2} B_{2}$ ，…，依此规律，得到 $R t △ O A_{2021} B_{2021}$ ，则点 $B_{2021}$ 的纵坐标为．

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三、解答题

17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 2 \leq 0 \\ 3 x + 2 > - 1 \end{array}$ ，并将其解集在数轴上表示出来．

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18. 如图，已知 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $∠ A = ∠ C$ ．求证： $△ A B D ≌ △ C B D$ ．

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19. 已知 $M = (x + 3) (x - 2) + {(x + 1)}^{2} + 5$ ．

(1)、化简M；

(2)、x是面积为5的正方形边长，求M的值．

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20. 某电影院按电影播放的时间段，把某部电影的票价设置为两种，记这两种票价对应的电影票分别为A票和B票．已知每张A票的票价比B票的票价少9元，且用312元购买A票的张数与用420元购买B票的张数相等．求每张A票和B票的票价各是多少元？

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21. 为落实白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，某校开展数学活动周，包括以下项目：①数学知识竞赛；②数学谜语；③数学手抄报；④数学计算接力赛；⑤数独游戏．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：

(1)、本次随机抽查的学生人数为人，补全图（Ⅰ）；

(2)、该校共有800名学生，可估计出该校学生最喜爱“①数学知识竞赛”的人数为人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为度；

(3)、该校计划在“①，②，③，④”四项活动中随机选取两项参加区活动展示，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中“①，④”这两项活动的概率．

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22. 一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象都经过点 $(2 ， - 1)$ ．

(1)、求b的值；

(2)、点 $(2 a ， y_{1})$ ， $(a ， y_{2})$ ， $(3 a ， y_{3})$ ， $a \neq 0$ ，都在反比例函数图象上，根据图象比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小．

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23. 如图， $⊙ O$ 是四边形 $A B C D$ 的外接圆， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B E ⊥ D C$ ，交 $D C$ 的延长线于点E， $C B$ 平分 $∠ A C E$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线．

(2)、若 $\overset{⌢}{A B} = 2 \overset{⌢}{B C}$ ， $C E = 1$ ，求点B到 $A D$ 的距离．

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24. 抛物线G： $y = x^{2} - 2 a x - a + 3$ （a为常数）的顶点为A．

(1)、用a表示点A的坐标；

(2)、经过探究发现，随着a的变化，点A始终在某一抛物线H上，若将抛物线G向右平移 $t (t > 0)$ 个单位后，所得抛物线顶点B仍在抛物线H上；
①平移距离t是a的函数吗？如果是，求出函数解析式，并写出a的取值范围；如果不是，请说明理由；

②若 $y = x^{2} - 2 a x - a + 3$ 在 $x \geq - 4$ 时，都有y随x的增大而增大，设抛物线H的顶点为C，借助图象，求直线 $A C$ 与x轴交点的横坐标的最小值．

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25. 不在射线 $D A$ 上的点P是边长为2的正方形 $A B C D$ 外一点，且满足 $∠ A P B = 45 °$ ，以 $A P$ ， $A D$ 为邻边作 $▱ A P Q D$ ．

(1)、如图，若点P在射线 $C B$ 上，请用尺规补全图形；

(2)、若点P不在射线 $C B$ 上，且在AB的左侧，求 $∠ P A Q$ 的度数；

(3)、设 $A Q$ 与 $P D$ 交点为O，当 $△ A P O$ 的面积最大时，求 $\tan ∠ A D O$ 的值．

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