河南省商丘市2019-2020学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\cos (\frac{13 π}{6})$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、— $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、— $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 某人连续投篮2次，事件“至少有1次投中”的对立事件是（）

A、恰有1次投中 B、至多有1次投中 C、2次都投中 D、2次都未投中

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3. 已知点 $P (- 8, 6 m \cos 60^{\circ})$ 在角 $α$ 的终边上，且 $\tan α = \frac{3}{4}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、-2 B、2 C、 $- 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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4. 已知 $\vec{O A} = (2 ， 3)$ ， $\vec{O B} = (- 3 ， y)$ ，若 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ，则 $| \vec{A B} |$ 等于（）

A、2 B、 $\sqrt{26}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $\frac{5 \sqrt{15}}{2}$

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5. 将一枚质地均匀的正方体骰子投掷两次，得到的点数依次记为 $a$ 和 $b$ ，则 $\ln a - \ln b \geq 0$ 的概率是（）

A、 $\frac{19}{36}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{7}{12}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = 3 D C$ ， $E$ 为边 $B C$ 的中点，若 $A E = λ A B + μ A D$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{6}$ B、1 C、 $\frac{7}{6}$ D、 $\frac{5}{6}$

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7. 2019年12月起，不少国家或地区发生“新冠肺炎”疫情，某国政府请求中国政府给予援助，我国政府的相关部门立即抽调了500名医务工作者前往援助，将参加援助的500名医务工作者编号为：001，002，…，500，并将这500名医务工作者分别编成三个组，从001到200在第一组，从201到355在第二组，从356到500在第三组．现采用系统抽样的方法抽取其中的50名医务工作者前往疫情比较严重的某地，若在第一组随机抽到的号码为003，则第二组被抽中的人数为（）

A、17 B、16 C、15 D、14

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8. 某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：

零件数x（个）

9

11

14

15

16

加工时间y（分30钟）

30

32

36

40

42

该车间的负责人作出散点图，发现x ， y是线性相关的，并求出y关于x的线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \frac{235}{17}$ （其中b是常数），据此回归模型可以预测，加工20个零件所需要的加工时间约为（）

A、45分钟 B、46分钟 C、47分钟 D、48分钟

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9. 已知函数f（x）＝2cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为4π，f（ $\frac{π}{3}$ ）＝1，则函数f（x）的图象（）

A、关于点（ $\frac{2 π}{3}$ ，0）对称 B、关于点（ $\frac{5 π}{3}$ ，0）对称 C、关于直线x＝ $\frac{π}{3}$ 对称 D、关于直线x＝ $\frac{π}{2}$ 对称

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10. 执行如图所示的程序框图，输出 $S$ 的值为（）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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11. 若两个向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角是 $\frac{2 π}{3}$ ， $\vec{a}$ 是单位向量， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{c} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $($ $)$

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 \sin \frac{x}{2} \cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2}$ ，若关于 $x$ 的方程 $3 {[f (x)]}^{2} + m \cdot f (x) + 2 = 0$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$ 上有两个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， - 5]$ B、 $(- \infty ， - 5] \cup {\pm 2 \sqrt{6}}$ C、 $(- \infty ， - 5)$ D、 $(- \infty ， - 5) \cup {- 2 \sqrt{6}}$

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二、填空题

13. 如图所示的程序执行后输出的结果为．

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14. 已知： $- \frac{π}{12} < α < \frac{5 π}{12}$ ，cos（α $+ \frac{π}{12}$ ） $= \frac{3}{5}$ ，则cos（α $- \frac{π}{4}$ ）＝.

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15. 在区间 $[0, \frac{3 π}{4}]$ 上随机取一个数 $α$ ，则 $\cos 2 α > \frac{1}{2}$ 的概率为．

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16. 如图，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D为BC边上的任意一点，M为线段AD的中点，则 $(\vec{M B} + \vec{M C}) \cdot \vec{A D}$ 的最大值是．

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三、解答题

17. 已知 $\frac{2 \cos (\frac{π}{2} + α) - \cos (3 π - α)}{\cos (π + α) + \sin (2 π - α)} = - 4$ ．

(1)、求 $\tan α$ 的值；

(2)、若 $0 < β < π$ ，且 $\tan (α - β) = \frac{1}{3}$ ，求 $β$ ．

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18. 设平面向量 $\vec{a} = (\cos α ， \sin α) (0 \leq α < 2 π)$ ， $\vec{b} = (1 ， - \sqrt{3})$ ．

(1)、若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，求角 $α$ ；

(2)、若 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{d} = \vec{a} - \vec{b}$ ，则向量 $\vec{c}$ 与 $\vec{d}$ 是否能垂直？若能垂直，求出角 $α$ 的值；若不可能垂直，请说明理由．

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19. 李明上高一时每天中午和晚上都在学校的食堂就餐，学校为了方便学生就餐，发行“校园一卡通”，该校的学生家长可以随时通过手机给其子女的“校园一卡通”充值，为了给李明的“校园一卡通”每周充入适当数量的钱，李明的家长随机考察了李明班级每天中午和晚上都在学校食堂就餐的6个同学一个星期在学校的就餐费用，并制作如图所示的茎叶图，在制作时有1个数据模糊，李明的家长便在图中以 $x$ 表示，他记得这6个同学一个星期在学校的就餐费用，如果去掉一个费用最高的，去掉一个费用最低的，剩余4个同学费用的平均数为91元．
$\begin{matrix} 8 \\ 9 \end{matrix} | \begin{matrix} 7 \\ 3 & 0 & x & 0 & 1 \end{matrix}$

(1)、求整数 $x$ 的取值组成的集合；

(2)、一般地，把抽取所得的随机数据中，去掉最大的一个，再去掉最小的一个，如果剩余的数据的方差在 $0 ~ 2$ 之间，我们认为抽取的数据是非常完美的数据，试说明李明的家长抽取的数据是否是非常完美的数据．

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20. 已知向量 $\vec{a} = (2 \cos ω x ， \sin ω x)$ ， $\vec{b} = (\cos ω x ， 2 \sqrt{3} \cos ω x) (0 < ω < 1)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，直线 $x = \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的一半，然后再向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的最值．

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21. 某新装修的“小吃城”位于市区的黄金地段，准备今年10月1日开始正式营业，从9月28日至9月30日试营业，试营业期间吸引了大批的消费者前来消费．为了促进消费者在“小吃城”消费，该“小吃城”决定在试营业期间，顾客可以选择向“小吃城”发行的

V I P

卡内预先充值，充1000元送150元，充2000元送300元，

\dots

，依此类推．试营业期间共有200名顾客进行了充值活动，“小吃城”根据顾客充值的金额（单位：千元），将这200人进行分组，分成

(0 ， 1]

、

(1 ， 2]

、

(2 ， 3]

、

(3 ， 4]

、

(4 ， 5]

、

(5 ， 6]

共

6

个组，得到频率分布数据如下：

组别	一	二	三	四	五	六
充值金额（单位：千元）	$(0 ， 1]$	$(1 ， 2]$	$(2 ， 3]$	$(3 ， 4]$	$(4 ， 5]$	$(5 ， 6]$
人数	16	24	$x$	$y$	20	10
频率	0.08	0.12	$p$	$q$	0.10	0.05

已知充值金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为 $3 ： 2$ ．

(1)、求

x

、

y

、

p

、

q

的值；

(2)、补全如图所示的频率分布直方图；

(3)、若从充值金额超过4千元的顾客中，按人数分层抽取6人，再从这6个人中随机抽取2人，给予这2人在“小吃城”开业的当天晚上消费免单的优惠，求“小吃城”开业的当天在该“小吃城”消费免单的2人来自同一组的概率．

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22. 大学生小王毕业后自主创业，租用开发区的一块如图所示的矩形 $A B C D$ 土地，从事无公害蔬菜种植，其中 $A B = 100$ 米， $B C = 50 \sqrt{3}$ 米，他在矩形的一边 $B C$ 上取点 $E$ ，在边 $A D$ 上取点 $F$ ，取 $A B$ 边的中点 $O$ ，建造三条小路 $O E$ 、 $O F$ 、 $E F$ （小路的宽度忽略不计）将矩形 $A B C D$ 分成四个不同的区域．如图，已知 $O E ⊥ O F$ ，且四边形 $C D F E$ 区域内种植出来的蔬菜每平方米的价值是其他三个区域种植出来的蔬菜每平方米的价值的2倍．

(1)、设 $∠ B O E = α$ ，试将四边形 $C D F E$ 的面积 $S$ 表示成关于 $α$ 的函数，并指出此函数的定义域；

(2)、试问如何设计（即 $α$ 为何值时）才能使在这个矩形 $A B C D$ 的土地上种植出来的蔬菜价值更高？

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零件数x（个）	9	11	14	15	16
加工时间y（分30钟）	30	32	36	40	42