河南省南阳市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某校有高一学生450人，高二学生480人.为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校高一高二学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高一学生中抽取15人，则n为

A、15 B、16 C、30 D、31

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2. $\sin 75 ° \cos 45 ° - \sin 15 ° \sin 45 ° =$ （）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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3. 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，互斥而不对立的两个事件是（）

A、至少有1个白球；都是白球 B、至少有1个白球；至少有1个红球 C、恰有1个白球；恰有2个白球 D、至少有1个白球；都是红球

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4. 已知向量 $\overset{⇀}{a} = (\cos θ, s i n θ), \overset{⇀}{b} = (2, - 1)$ ，且 $\overset{⇀}{a} ⊥ \overset{⇀}{b}$ ，则 $\tan (θ - \frac{π}{4})$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、-3 C、3 D、 $- \frac{1}{3}$

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5. 已知平面向量 $\overset{⇀}{a}$ ， $\overset{⇀}{b}$ 是非零向量，| $\overset{⇀}{a}$ |=2， $\overset{⇀}{a}$ ⊥( $\overset{⇀}{a}$ +2 $\overset{⇀}{b}$ )，则向量 $\overset{⇀}{b}$ 在向量 $\overset{⇀}{a}$ 方向上的投影为（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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6. 已知函数f（x）＝Atan（ωx+φ）（ω＞0，|φ| $< \frac{π}{2}$ ），y＝f（x）的部分图象如图，则f（ $\frac{π}{24}$ ）＝（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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7. 将函数 $y = \sin (2 x + φ)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{π}{8}$ 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 $φ$ 的一个可能值为（）

A、 $- \frac{5 π}{4}$ B、 $- \frac{3 π}{4}$ C、 $- \frac{π}{4}$ D、 $\frac{3 π}{8}$

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8. 阅读算法框图，如果输出的函数值在区间 $[1 ， 8]$ 上，则输入的实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， 2)$ B、 $[2 ， 7]$ C、 $[2 ， 4]$ D、 $[0 ， 7]$

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9. $\sin α + \sin β + \sin γ = 0 ， \cos α + \cos β + \cos γ = 0$ ，则 $\cos (α - β) =$ （）

A、1 B、-1 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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10. 某同学用“随机模拟方法”计算曲线

y = ln x

与直线

x = e ， y = 0

所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间

[1 ， e]

上的均匀随机数

x_{i}

和10个区间

[0 ， 1]

上的均匀随机数

y_{i} (i \in N^{*} ， 1 \leq i \leq 10)

，其数据如下表的前两行．

x	2.50	1.01	1.90	1.22	2.52	2.17	1.89	1.96	1.36	2.22
y	0.84	0.25	0.98	0.15	0.01	0.60	0.59	0.88	0.84	0.10
lnx	0.90	0.01	0.64	0.20	0.92	0.77	0.64	0.67	0.31	0.80

由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）

A、

\frac{2}{5} (e + 1)

B、

\frac{2}{5} (e - 1)

C、

\frac{3}{5} (e + 1)

D、

\frac{3}{5} (e - 1)

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11. 已知函数 $f (x) = sin ω x (ω > 0)$ 满足对任意 $x \in R$ ， $f (x) = f (x + π)$ ，则函数 $f (x)$ 在 $[0, 2π]$ 上的零点个数不可能为（）

A、5 B、9 C、21 D、23

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12. 已知函数 $f (x) = | \sin x | + | \cos x |$ ，则以下结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 为偶函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x)$ 的最大值为2 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4}]$ 上单调递增

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二、填空题

13. 已知 $\sin (θ - \frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则 $\cos (\frac{π}{3} - 2 θ) =$ ．

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14. 已知 $△ A B C$ 的三边长 $A C = 3$ ， $B C = 4$ ， $A B = 5$ ，P为 $A B$ 边上任意一点，则 $\vec{C P} \cdot (\vec{B A} - \vec{B C})$ 的最大值为.

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15. 函数 $y = 3 \sin x - 4 \cos x$ 在 $x = θ$ 处取得最大值，则 $\sin θ =$

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16. 若不等式 $\sin x - \tan x + | \tan x + \sin x | - k \leq 0$ 在 $x \in [\frac{3 π}{4} ， π]$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 1, | \vec{b} | = 1$ ，且向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线.

(1)、若 $\overset{⇀}{a}$ 与 $\overset{⇀}{b}$ 的夹角为 $45 °$ ，求 $(2 \vec{a} - \vec{b}) • (\vec{a} + \vec{b})$ ；

(2)、若向量 $k \vec{a} + \vec{b}$ 与 $k \vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的钝角，求实数 $k$ 的取值范围.

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18. 某同学用“五点作图法”画函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})

在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如表：

$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3 π}{2}$	2π
$x$		$\frac{π}{3}$		$\frac{5 π}{6}$
$A \sin (ω x + φ)$	0	2		-2	0

(1)、请将上表数据补充完整，并直接写出函数

f (x)

的解析式；

(2)、将函数

y = f (x)

的图像向左平移

\frac{π}{4}

个单位后，再将得到图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数

y = g (x)

的图像，求

g (x)

的单调递减区间.

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19. 某种产品的广告费支出 $x$ 与销售额 $y$ （单位：万元）之间有如下对应数据：

$x$

2

4

5

6

8

$y$

30

40

60

50

70

参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ .

(1)、若广告费与销售额具有相关关系，求回归直线方程；

(2)、在已有的五组数据中任意抽取两组，求两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都不超过5的概率.

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20. 已知 $f (x) = 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} (\cos^{2} x - \sin^{2} x)$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期和对称轴方程；

(2)、若 $x \in [0 ， \frac{5 π}{12}]$ ，求 $y = f (x)$ 的值域．

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21. 某科研课题组通过一款手机

A P P

软件，调查了某市1000名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”），得到如下的频数分布表：

周跑量（ $k m /$ 周）	$[10 ， 15)$	$[15 ， 20)$	$[20 ， 25)$	$[25 ， 30)$	$[30 ， 35)$	$[35 ， 40)$	$[40 ， 45)$	$[45 ， 50)$	$[50 ， 55)$
人数	100	120	130	180	220	150	60	30	10

(1)、在答题卡上补全该市1000名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图：

(2)、根据以上图表数据，试求样本的中位数（保留一位小数）.

(3)、根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的价格不一样，如下表：

周跑量	小于20公里	20公里到40公里	不小于40公里
类别	休闲跑者	核心跑者	精英跑者
装备价格（单位：元）	2500	4000	4500

根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元？

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22. 在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点， $A$ ， $B$ ， $C$ 三点满足 $\overset{⇀}{O C} = \frac{1}{3} \overset{⇀}{O A} + \frac{2}{3} \overset{⇀}{O B}$ .

(1)、求 $\frac{| \overset{⇀}{A C} |}{| \overset{⇀}{C B} |}$ 值；

(2)、已知 $A (1 ， \cos x) ， B (1 + \cos x ， \cos x) ， x \in [0 ， \frac{π}{2}] ， f (x) = \overset{⇀}{O A} \cdot \overset{⇀}{O C} - (2 m + \frac{2}{3}) | \overset{⇀}{A B} |$ 若 $f (x)$ 的最小值为 $g (m)$ ，求 $g (m)$ 的最大值.

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$x$	2	4	5	6	8
$y$	30	40	60	50	70