河南省洛阳市2019-2020学年高一下学期理数质量检测（期末）试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $3 x - \sqrt{3} y + 1 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、135°

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2. 某中学举行校园歌手大赛，经预赛后共10名同学进入决赛，现采用抽签方式确定出场顺序，若甲同学先抽，则他抽到的出场序号小于4的概率为（）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3}{10}$

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3. 已知函数 $f (x) = \ln x + \sqrt{16 - 2^{x}}$ ，则 $f (x)$ 的定义域为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, 2]$ C、 $(0, 4]$ D、 $(0, 2]$

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4. 已知直线 $a, b$ 与平面 $α, β, γ$ ，下列条件中能推出 $α / / β$ 的是（）

A、 $a ⊥ α, 且 a ⊥ β$ B、 $α ⊥ γ, 且 β ⊥ γ$ C、 $a \subset α, b \subset β, a / / b$ D、 $a \subset α, b \subset α, a / / β, b / / β$

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5. 在区间 $[- 1, 1]$ 上随机地取一个数 $x$ .则 $\cos \frac{π x}{2}$ 的值介于0到 $\frac{1}{2}$ 之间的概率为（）.

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{π}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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6. 某高中一年级两个数学兴趣小组平行对抗赛，满分100分，每组20人参加，成绩统计如图：根据统计结果，比较甲、乙两小组的平均成绩及方差大小（）

A、 ${\bar{x}}_{甲} < {\bar{x}}_{乙}$ ， $S_{甲}^{2} > S_{乙}^{2}$ B、 ${\bar{x}}_{甲} > {\bar{x}}_{乙}$ ， $S_{甲}^{2} < S_{乙}^{2}$ C、 ${\bar{x}}_{甲} < {\bar{x}}_{乙}$ ， $S_{甲}^{2} < S_{乙}^{2}$ D、 ${\bar{x}}_{甲} > {\bar{x}}_{乙}$ ， $S_{甲}^{2} > S_{乙}^{2}$

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7. 已知 $a = \sin 33 °$ ， $b = \cos 55 °$ ， $c = \tan 35 °$ 则 $a$ ， $b$ ， $c$ ，的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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8. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 $3.14$ ，这就是著名的“徽率”。如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的 $n$ 值为（）（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732 ， sin 15^{0} \approx 0.2588 ， sin 75^{0} \approx 0.9659$ ）

A、48 B、36 C、24 D、12

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9. 已知的 $△ O M N$ 三个顶点为 $O (0 ， 0)$ ， $M (6 ， 0)$ ， $N (8 ， 4)$ ，过点 $(3 ， 5)$ 作其外接圆的弦，若最长弦与最短弦分别为 $A C$ ， $B D$ ，则四边形 $A B C D$ 的面积为（）

A、 $10 \sqrt{6}$ B、 $20 \sqrt{6}$ C、 $30 \sqrt{6}$ D、 $40 \sqrt{6}$

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10. 已知体积为 $4 \sqrt{3}$ 的三棱锥 $O - A B C$ 的顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在球 $O$ 的表面上，且 $A B = 6$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $A C = 4 \sqrt{3}$ ，则球 $O$ 的表面积是（）

A、16π B、32π C、64π D、72π

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11. 若向量 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 的模均为1，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $| 3 \vec{a} + 4 \vec{b} - 2 \vec{c} |$ 的最大值为（）

A、 $5 + 2 \sqrt{5}$ B、3 C、5 D、7

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ ，当 $x \in [0 ， \frac{π}{4}]$ 时， $f {(x)}_{\max} = \frac{ω}{3}$ 时，则 $ω$ 的值最多有（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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二、填空题

13. 已知 $\cos (\frac{3 π}{2} + α) = - \frac{1}{3}$ ，且 $α \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ ，则 $\tan α =$ ．

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14. 若直线 $\sqrt{3} x - 3 y + 9 = 0$ 被圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = r^{2}$ 截得的弦长为 $\sqrt{3} r$ ，则 $r =$ ．

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15. 已知 $| \vec{O A} | = 1 ， | \vec{O B} | = \sqrt{3} ， \vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ |，点 $C$ 在 $∠ A O B$ 内，且 $∠ A O C = 30 °$ ，设 $\vec{O C} = m \vec{O A} + n \vec{O B} (m ， n \in R)$ ，则 $\frac{m}{n}$ 等于．

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16. 已知 $f (x) = e^{x - 1} - e^{1 - x} + x$ ，则不等式 $f (x) + f (6 - 3 x) \leq 2$ 的解集是．

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三、解答题

17.

(1)、已知 $2 \lg (x - 2 y) = \lg x + \lg y$ ，求 $\frac{x}{y}$ 的值．

(2)、设 $x_{1}$ 满足 $2 x + \ln x = 3$ ， $x_{2}$ 满足 $\ln (1 - x) - 2 x = 1$ 求 $x_{1} + x_{2}$ 的值．

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18. 半期考试后，班长小王统计了50名同学的数学成绩，绘制频率分布直方图如图所示．

(1)、根据频率分布直方图，估计这50名同学的数学平均成绩；

(2)、用分层抽样的方法从成绩低于115的同学中抽取6名，再在抽取的这6名同学中任选2名，求这两名同学数学成绩均在 $[105 ， 115)$ 中的概率．

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19. 已知 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 三个顶点的坐标分别为 $P_{1} (\cos α ， \sin α) ， P_{2} (\cos β ， \sin β) ， P_{3} (\cos γ ， \sin γ)$ ，且 $\vec{O P_{1}} + \vec{O P_{2}} + \vec{O P_{3}} = \vec{0}$ （O为坐标原点）．

(1)、求 $∠ P_{1} O P_{2}$ 的大小；

(2)、试判断 $△ P_{1} P_{2} P_{3}$ 的形状．

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20. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A D = 2 A B = 2$ ，E，F分别为 $A D$ ， $B C$ 的中点，现将矩形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折起，使二面角 $D^{'} - E F - B$ 为60°．

(1)、求证： $E F ⊥ A D^{'}$ ；

(2)、求 $A C^{'}$ 与平面 $E F C^{'} D^{'}$ 所成角的正弦值．

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21. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．

(1)、将函数 $y = f (x)$ 的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得函数图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度．得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{2} ， \frac{π}{12}]$ 时，求函数 $y = f (2 x + \frac{π}{12}) - \sqrt{2} f (2 x + \frac{π}{3})$ 的值域．

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22. 已知动点 $M$ 到两定点 $A (1 ， 1)$ ， $B (2 ， 2)$ 的距离之比为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ．

(1)、求动点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；

(2)、过曲线 $C$ 上任意一点 $P$ 作与直线 $l ： 2 x + y - 6 = 0$ 夹角为 $30 °$ 的直线，交 $l$ 于点 $Q$ ，求 $| P Q |$ 的最大值和最小值．

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