河南省开封市五县联考2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin (- \frac{35 π}{6})$ 的值等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (x, - 6)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ .则 $x$ 等于（）

A、3 B、-3 C、-12 D、12

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3.
右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）

A、0 B、2 C、4 D、14

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4. 已知扇形的弧长是 $5 π$ ，面积是 $15 π$ ，则该扇形的圆心角的正切值等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$

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5. 为了解高一学生对《中华人民共和国民法典》的学习情况，现从某校高一1205名学生中抽取50名学生参加测试，则首先用简单随机抽样剔除5名学生，然后剩余的1200名学生再用系统抽样的方法抽取，则每人入选的概率（）

A、不全相等 B、均不相等 C、都相等，为 $\frac{10}{241}$ D、都相等，为 $\frac{1}{24}$

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6. 设函数 $f (x) = cos (ω x + \frac{π}{6})$ 在 $[- π，π]$ 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）

A、 $\frac{10 π}{9}$ B、 $\frac{7 π}{6}$ C、 $\frac{4 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{2}$

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7. 已知变量 $x$ 与 $y$ 正相关，且由观测数据求得 $\bar{x} = 3, \bar{y} = 3.5$ .由观测数据得出的线性回归方程可能是（）

A、 $\hat{y} = - 2 x + 9.5$ B、 $\hat{y} = - 0.3 x + 4.4$ C、 $\hat{y} = 2 x - 2.4$ D、 $\hat{y} = 0.4 x + 2.3$

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8. 若正整数N除以正整数m后的余数为r，则记为 $M o d (N ， m) = r$ ，例如 $M o d (10 ， 4) = 2$ .如图所示的程序框图的算法源于我国古代数学名著《孙子算经》中的“中国剩余定理”，则执行该程序框图输出的 $i =$ （）

A、8 B、18 C、23 D、38

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9. 斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列（1，1，2，3，5，8…）画出来的螺旋曲线，由中世纪意大利数学家列奥纳多•斐波那契最先提出．如图，矩形ABCD是以斐波那契数为边长的正方形拼接而成的，在每个正方形中作一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连成的弧线就是斐波那契螺旋线的一部分．在矩形ABCD内任取一点，该点取自阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{π}{8}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 袋中共有5个小球，其中3个红球、2个白球.现从中不放回地摸出3个小球，则下列各对事件为互斥事件的是（）

A、“恰有1个红球”和“恰有2个白球” B、“至少有1个红球”和“至少有1个白球” C、“至多有1个红球”和“至多有1个白球” D、“至少有1个红球”和“至多有1个白球”

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11. 已知 $f (x) = \sin ω x + \sqrt{3} \cos ω x$ （ $ω > 0$ ）在区间 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{2}{3}]$ B、 $(0 ， \frac{2}{3}] \cup [7 ， \frac{26}{3}]$ C、 $[7 ， \frac{26}{3}] \cup [\frac{50}{3} ， 19]$ D、 $(0 ， \frac{2}{3}] \cup [\frac{50}{3} ， 19]$

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12. 已知 $O$ 是平面上的一定点， $A 、 B 、 C$ 是平面上不共线的三个动点，点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \vec{O A}$ $+ λ (\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} | \cos B} + \frac{\vec{A C}}{| A C | \cos C})$ ，则动点 $P$ 的轨迹一定通过 $△ A B C$ 的（）

A、重心 B、外心 C、垂心 D、内心

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二、填空题

13. 雷神山医院从开始设计到建成完工，历时仅十天.完工后，新华社记者要对部分参与人员采访.决定从300名机械车操控人员，160名管理人员和240名工人中按照分层抽样的方法抽取35人，则从工人中抽取的人数为；

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14. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \overset{⇀}{a} | = 2$ ， $| \overset{⇀}{b} | = \sqrt{2}$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影为.

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15. 新冠肺炎疫情爆发后，某市指定医院组织市民进行核糖核酸检测.某个检测点派出了两名医生，四名护士.把这六名医护人员分为两组，每组一名医生，两名护士，则医生甲与护士乙分在一组的概率为；

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16. 已知函数 $f (x) = \cos 2 x - \cos (2 x + \frac{π}{3}) + 2 ， (x \in R)$ ，给出下列四个结论：
①函数 $f (x)$ 是最小正周期为 $π$ 的奇函数；

②直线 $x = - \frac{π}{3}$ 是函数 $f (x)$ 的一条对称轴；

③点 $(- \frac{π}{12} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心；

④函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π - \frac{π}{6} ， k π + \frac{π}{3}] (k \in Z)$

其中正确的结论是（填序号）.

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三、解答题

17. 已知角 $α \in (0 ， π)$ 且 $3 \cos 2 α - 8 \cos α = 5$ .求下列各式的值.

(1)、求 $\sin (\frac{π}{4} + α)$ 的值；

(2)、先化简 $\frac{1 + \sin 2 α}{2 \cos^{2} α + \sin 2 α}$ ，再求值.

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18. 如图所示， $△ O B C$ 中，点 $A$ 为 $B C$ 中点，点 $D$ 是线段 $O B$ 上靠近点 $B$ 的一个三等分点， $C D$ ， $O A$ 相交于点 $E$ ，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{O C}$ ， $\vec{D C}$ ；

(2)、若 $\vec{O E} = λ \vec{O A}$ ，求 $λ$ ．

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19. 为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100]六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：

(1)、求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；

(2)、请根据频率分布直方图，估计样本的中位数和方差.（每组数据以区间的中点值为代表）.

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20. 已知函数 $f (x) = \sin (2 ω x - \frac{π}{6}) - 4 \sin^{2} ω x + 2 (ω > 0)$ ，其图象与x轴相邻的两个交点的距离为 $\frac{π}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若将 $f (x)$ 的图象向左平移 $m (m > 0)$ 个长度单位得到函数 $g (x)$ 的图象恰好经过点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ ，求当 $m$ 取得最小值时， $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{7 π}{12}]$ 上的单调区间.

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21.

P M 2.5

是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与

P M 2.5

的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某时间段车流量与

P M 2.5

浓度的数据如下表：

时间	周一	周二	周三	周四	周五
车流量 $x$ （万辆）	50	51	54	57	58
$P M 2.5$ 的浓度 $y$ （微克/立方米）	39	40	42	44	45

（参考公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ）

(1)、根据上表数据，求出这五组数据组成的散点图的样本中心坐标；

(2)、用最小二乘法求出

y

关于

x

的线性回归方程

\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}

；

(3)、若周六同一时间段车流量是100万辆，试根据（2）求出的线性回归方程预测，此时

P M 2.5

的浓度是多少？

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22. 在平面直角坐标系中，已知点A(1，0)和点B(－1，0)， $| \vec{O C} | = 1$ ，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．

(1)、若 $x = \frac{3}{4} π$ ，设点D为线段OA上的动点，求 $| \vec{O C} + \vec{O D} |$ 的最小值；

(2)、若x∈ $[0 ， \frac{π}{2}]$ ，向量 $\vec{m} = \vec{B C}$ ， $\vec{n}$ ＝(1－cos x，sin x－2cos x)，求 $\vec{m} \cdot \vec{n}$ 的最小值及对应的x值．

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