广东省珠海市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. $a$ ， $b$ ， $c$ ， $d \in R$ ，则下列不等关系中一定成立的是（）

A、若 $a + b > 0$ ，则 $c + a > c - b$ B、若 $a > b$ ， $c < a$ ，则 $b > c$ C、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$ D、若 $a^{2} > b^{2}$ ，则 $a > b$

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2. 已知平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1} : x + 3 y + 1 = 0$ ，直线 $l_{2} : 3 x - y + 1 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的位置关系是（）

A、平行 B、重合 C、相交但不垂直 D、垂直

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3. 如图为一个几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是矩形，俯视图是边长为2的正三角形，则该几何体的表面积为（）

A、6+ $\sqrt{3}$ B、24+ $\sqrt{3}$ C、 $24 + 2 \sqrt{3}$ D、32

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4. 在△ABC中，已知A＝75°，B＝45°，b＝4，则c＝（）

A、 $\sqrt{6}$ B、2 C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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5. 已知直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，直线 $m \subset$ 平面 $β$ ，给出下列命题：① $α / / β \Rightarrow l ⊥ m$ ；
② $α ⊥ β \Rightarrow l / / m$ ；③ $l / / m \Rightarrow α ⊥ β$ ；④ $l ⊥ m \Rightarrow α / / β$ ．

其中正确命题的序号是（）

A、①③ B、②③④ C、②④ D、①②③

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6. 已知等差数列{a_n}，公差d≠0，S_n为其前n项和，S₁₂＝8S₄ ，则 $\frac{a_{2}}{d}$ ＝（）

A、 $\frac{10}{19}$ B、 $\frac{10}{9}$ C、 $\frac{19}{10}$ D、 $\frac{9}{10}$

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7. 如图，一倒立的圆锥和一个底面圆直径为2R的圆柱内装等高H的液体，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，圆柱的轴截面为一矩形，H＝ $\sqrt{3}$ R，圆锥内液体体积为V₁ ，圆柱内液体体积为V₂ ，则（）

A、V₁＝2V₂ B、V₁＝V₂ C、V₂＝2V₁ D、V₁＝ $\sqrt{3}$ V₂

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8. 过圆x²+y²＝5上一点M（1，﹣2）作圆的切线l，则l的方程是（）

A、x+2y﹣3＝0 B、x﹣2y﹣5＝0 C、2x﹣y﹣5＝0 D、2x+y﹣5＝0

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9. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x ⩽ 1 \\ y \leq 2 \\ x + y \geq 2 \end{array}$ ，则目标函数 $z = 2 x - y$ 的最大值是（）

A、-3 B、3 C、5 D、1

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10. △ABC中，角A，B，C的对边长分别为a，b，c．已知a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积为（）

A、6 $\sqrt{3}$ B、6 C、 $\frac{21}{4}$ D、14

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11. 如图，A，B两船相距10海里，B船在A船南偏西45°方向上，B船向正南方向行驶，A船以B船速度的 $\sqrt{2}$ 倍追赶B船，A船若用最短的时间追上B船，A船行驶的角度为（）

A、南偏西30° B、南偏西15° C、南偏东30° D、南偏东15°

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12. 如图，一长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁ ，底面ABCD是边长为1的正方形，AA₁＝3，E∈ AA₁ ， F∈BB₁ ， AE＝BF＝1，G∈A₁B₁ ，则G到平面D₁EF的距离是（）

A、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{2 \sqrt{5}}{3}$

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二、填空题

13. 已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n ， a₁＝ $\frac{1}{4}$ ，a₄＝2，则S₁₀的值为．

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14. 已知平面直角坐标系xOy中，点A（4，1），点B（0，4），直线l：y＝3x﹣1，则直线AB与直线l的交点坐标为．

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15. 已知a＞0，b＞0，则p＝ $\frac{b^{2}}{a}$ ﹣a与q＝b﹣ $\frac{a^{2}}{b}$ 的大小关系是．

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16. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₂＝4，S₅＝30，则数列{ $\frac{1}{S_{n}}$ }的前n项和为．

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17. 如图，直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，底面是边长为 $a$ 的菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $A A_{1} = 2 a$ ，则直线 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} C$ 成角的余弦值为．

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18. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+c＝2b，3sinB＝5sinA，则C＝．

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19. 已知 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n}_{+ 1} = a_{n} + a_{n}_{+ 2}$ ，则 $a_{2020} =$ ．

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20. 在棱长均为1的正四面体ABCD中，M为AC的中点，P为DM上的动点，则PA+PB的最小值为．

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三、解答题

21. 如图，已知△ABC中，AB＝ $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ ，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°．

(1)、求AC的长；

(2)、若CD＝5，求AD的长．

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22. 关于 $x$ 的不等式： $x^{2} - (a + 1) x + a < 0$ ， $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，解这个不等式；

(2)、当 $a \neq 1$ 时，解这个不等式．

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23. 四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，如图甲，以AC为折痕，将平面ABC翻折到AB'C的位置，如图乙，得到三棱锥B'﹣ACD，M为B'C的中点，DM＝ $\sqrt{2}$ ．

(1)、求证：OM//平面AB'D；

(2)、求证：平面AB'C⊥平面DOM；

(3)、求二面角B'﹣CD﹣O的正切值．

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24. 已知数列{a_n}的首项a₁＝1，S_n为其前n项和，且S_n+1﹣2S_n＝n+1．

(1)、证明数列{a_n+1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项；

(2)、求数列{na_n}的前n项和T_n ．

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25. 在平面直角坐标系中，圆C是以（1，1）为圆心、半径为1的圆，过坐标原点O的直线l的斜率为k，直线l交圆C于P，Q两点，点A的坐标为（ $\frac{1}{\sqrt{k}}$ ，﹣ $\frac{1}{\sqrt{k}}$ ）．

(1)、写出圆C的标准方程；

(2)、求△APQ面积的最大值．

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