广东省中山市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图是某班篮球队队员身高 $($ 单位：厘米 $)$ 的茎叶图，则该篮球队队员身高的众数是（）

A、168 B、181 C、186 D、191

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2. 若一扇形的圆心角为 $144 °$ ，半径为 $5 c m$ ，则扇形的面积为（）

A、 $8 π c m^{2}$ B、 $10 π c m^{2}$ C、 $8 c m^{2}$ D、 $10 c m^{2}$

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3. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为多少石？（）

A、180 B、160 C、90 D、360

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4. 圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ 与圆 ${(x - 7)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 36$ 的位置关系是（）

A、相切 B、内含 C、相离 D、相交

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5. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $(- 1, 1)$ 上是增函数的是（）

A、 $y = \frac{1}{x}$ B、 $y = \tan x$ C、 $y = - \sin x$ D、 $y = \cos x$

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6. 已知菱形 $A B C D$ 的边长为4， $∠ A B C = 60 °$ ， $E$ 是 $B C$ 的中点 $\vec{D F} = - 2 \vec{A F}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{B F} =$ （）

A、24 B、-7 C、-10 D、-12

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7. 已知角 $α$ 的顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，将 $α$ 的终边按顺时针方向旋转 $\frac{π}{4}$ 后经过点（3，4），则 $\sin 2 α =$ （）

A、 $- \frac{12}{25}$ B、 $- \frac{7}{25}$ C、 $\frac{7}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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8. 已知函数 $f (x) = 2 \cos x$ ( $x \in [0 ， π]$ ) 的图象与函数 $g (x) = 3 \tan x$ 的图象交于A，B两点，则 $Δ O A B$ （O为坐标原点）的面积为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{3} π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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9. 已知函数 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{6})$ ，下列结论中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $π$ 的偶函数 B、函数 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ 上是单调增函数 C、若函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， \frac{π}{2})$ ，则值域为 $(- \frac{1}{2} ， 1]$ D、函数 $f (x)$ 的图象与 $g (x) = - \sin (2 x - \frac{2 π}{3})$ 的图象重合

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二、多选题

10. 在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（）

A、点 $(- 2, 1, 4)$ 关于x轴对称的点的坐标为 $(2, 1, 4)$ B、到 $(1, 0, 0)$ 的距离小于1的点的集合是 ${(x, y, z) | {(x - 1)}^{2} + y^{2} + z^{2} < 1}$ C、点 $(1, 2, 3)$ 与点 $(3, 2, 1)$ 的中点坐标是 $(2, 2, 2)$ D、点 $(1, 2, 0)$ 关于平面 $y O z$ 对称的点的坐标为 $(- 1, 2, 0)$

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11. 某工厂有甲、乙两条流水线同时生产直径为 $50 mm$ 的零件，各抽取10件进行测量，其结果如图所示，则以下结论正确的是（）

A、甲流水线生产的零件直径的极差为 $0.4 mm$ B、乙流水线生产的零件直径的中位数为 $50.0 mm$ C、乙流水线生产的零件直径比甲流水线生产的零件直径稳定 D、甲流水线生产的零件直径的平均值小于乙流水线生产的零件直径的平均值

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12. 八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形 $A B C D E F G H$ ，其中 $| O A | = 1$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $\vec{O A} \cdot \vec{O D} = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\vec{O B} + \vec{O H} = - \sqrt{2} \vec{O E}$ C、 $\vec{A H} \cdot \vec{H O} = \vec{B C} \cdot \vec{B O}$ D、 $\vec{A H}$ 在 $\vec{A B}$ 向量上的投影为 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$

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三、填空题

13. $\tan 15 °$ 的值是

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14. 某种饮料每箱装6听，若其中有2听不合格，质检员从中随机抽出2听，则含有不合格品的概率为.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线l： $k x - y + 4 k = 0$ 与曲线 $y = \sqrt{9 - x^{2}}$ 交于A，B两点，且 $\vec{A O} \cdot \vec{A B} = 2$ ，则 $k =$ .

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16. 已知当 $x = θ$ 且 $\tan θ = 2$ 时，函数 $f (x) = \sin x (a \cos x + \sin x)$ 取得最大值，则a的值为.

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四、解答题

17. 已知 $α$ ， $β$ 均为锐角，且 $\sin α = \frac{3}{5}$ ， $\sin (α - β) = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ .

(1)、求 $\tan (α - β)$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值.

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18. 手机运动计步已经成为一种新时尚.某单位统计了职工一天行走步数（单位：百步），绘制出如下频率分布直方图：

(1)、求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工一天步行数的中位数；

(2)、若该单位有职工200人，试估计职工一天行走步数不大于13000的人数；

(3)、在（2）的条件下，该单位从行走步数大于15000的3组职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足拉练活动，再从6人中选取2人担任领队，求这两人均来自区间 $(150 ， 170]$ 的概率.

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19. 某农科所对冬季昼夜温差（最高温度与最低温度的差）大小与某反季节大豆新品种一天内发芽数之间的关系进行了分析研究，他们分别记录了12月1日至12月6日每天昼夜最高、最低的温度（如图甲），以及实验室每天每100颗种子中的发芽数情况（如图乙），得到如下资料：

参考数据： $\sum_{i = 1}^{6} x_{i} = 75 ，$ $\sum_{i = 1}^{6} y_{i} = 162 ， \sum_{i = 1}^{6} x_{i} y_{i} = 2051 ，$ $\sqrt{\sum_{i = 1}^{6} x_{i}^{2} - 6 {\bar{x}}^{2}} \approx 4.2 ，$ $\sqrt{\sum_{i = 1}^{6} y_{i}^{2} - 6 {\bar{y}}^{2}} \approx 6.5$ .

参考公式：

相关系数： $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sqrt{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2})}}$ （当 $| r | > 0.75$ 时，具有较强的相关关系）.

回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中斜率和截距计算公式： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} ，$ $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

(1)、请画出发芽数y与温差x的散点图；

(2)、若建立发芽数y与温差x之间的线性回归模型，请用相关系数说明建立模型的合理性；

(3)、①求出发芽数y与温差x之间的回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ （系数精确到0.01）；
②若12月7日的昼夜温差为 $8^{°} C$ ，通过建立的y关于x的回归方程，估计该实验室12月7日当天100颗种子的发芽数.

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20. 阅读下面材料：
$\sin 3 θ = \sin (2 θ + θ) = \sin 2 θ \cos θ + \cos 2 θ \sin θ = 2 \sin θ \cos^{2} θ + (1 - 2 \sin^{2} θ)$ ；

$\sin θ = 2 \sin θ (1 - \sin^{2} θ) + (\sin θ - 2 \sin^{3} θ) = 3 \sin θ - 4 \sin^{3} θ$ .

解答下列问题：

(1)、证明： $\cos 3 θ = 4 \cos^{3} θ - 3 \cos θ$ ；

(2)、若函数 $f (x) = \frac{\cos (3 x + \frac{π}{4})}{\cos (x - \frac{π}{4})} + \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{4}) - 5$ ， $x \in (0, \frac{π}{2})$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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21. 如数学命题一般由“条件”和“结论”两部分组成.正确的命题掲示了“条件”与“结论”之间的必然联系.如果我们把命题中的“条件”和“结论”互換身份，就有可能得到一个有意义的逆向命题；把一个数学命题中的某些特殊的条件一般化（比如取消某些条件过强的限制），从而得到更普遍的结论，叫做数学命题的推广.这两种方式都是发现数学新知识的重要途径.下面，给出个具体间题，请你先解答这个问题，并尝试按上面提示的思路，提出有意义的问题并解答.
圆O的方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，斜率为k的直线l与圆O交于两点A，B，与x轴交于圆内点 $F (c, 0)$ ，其中 $c \neq 0$ 点 $M (m, 0)$ 为x轴上一点.

(1)、当 $c = \frac{1}{2}$ ， $k = 2$ 时，若有 $∠ O M A = ∠ O M B$ 求m的值；

(2)、就本问题，请你尝试提出有意义的问答并解答（请注意完整、清晰、简洁地叙述你所提出的问题、本题视所提问题的意义及解答给分）.

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22. 如图，已知AB⊥BC，AB= $\sqrt{3}$ BC= $\sqrt{3}$ a，a∈[1，3]，圆A是以A为圆心、半径为2的圆，圆B是以B为圆心、半径为1的圆，设点E、F分别为圆A、圆B上的动点， $\overset{⇀}{A E}$ ∥ $\overset{⇀}{B F}$ （且 $\overset{⇀}{A E}$ 与 $\overset{⇀}{B F}$ 同向），设∠BAE=θ(θ∈[0，π])．
(I)当a= $\sqrt{3}$ ，且θ= $\frac{π}{6}$ 时，求 $\overset{⇀}{A E} \cdot \overset{⇀}{A C}$ 的值；

(Ⅱ)用a，θ表示出 $\overset{⇀}{C E} \cdot \overset{⇀}{C F}$ ，并给出一组a，θ的值，使得 $\overset{⇀}{C E} \cdot \overset{⇀}{C F}$ 最小．

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