广东省深圳市龙岗区三校2019-2020学年高一下学期数学期末联考试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{A B}$ =（1,2）， $\vec{B C}$ =（3,4），则 $\vec{A C}$ =（）

A、（4,6） B、(-4，-6) C、(-2，-2) D、(2,2)

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2. 某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.80，1.69，1.76，则这组数据的中位数为（）（米）.

A、1.21 B、1.32 C、1.76 D、1.66

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3. 设向量 $\vec{a} = (x ， x + 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 2)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $x$ =（）.

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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4. 设向量 $\overset{⇀}{a}$ ＝（2，4）与向量 $\overset{⇀}{b}$ ＝（x，6）共线，则实数x＝（）

A、2 B、3 C、4 D、6

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5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{8}{25}$ D、 $\frac{9}{25}$

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6. 向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 2)$ ，则 $(2 \vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} =$ （）

A、－1 B、0 C、1 D、2

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7. 圆（x+1）²+y²=2的圆心到直线y=x+3的距离为（　　）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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8. 已知平行直线 $l_{1} : 2 x + y - 1 = 0, l_{2} : 2 x + y + 1 = 0$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离是（）.

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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9. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（）

A、 $\frac{1}{3} + \frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} π}{3}$ C、 $\frac{1}{3} + \frac{\sqrt{2} π}{6}$ D、 $1 + \frac{\sqrt{2} π}{6}$

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10. 在 $[- 1 ， 1]$ 上随机地取一个数 $k$ ，则事件“直线 $y = k x$ 与圆 ${(x - 5)}^{2} + y^{2} = 9$ 相交”发生的概率为（）.

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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11. 已知非零向量 $\vec{m} ， \vec{n}$ 满足 $4 | \vec{m} | = 3 | \vec{n} |$ ， $cos< \vec{m} ， \vec{n} > = \frac{1}{3}$ .若 $\vec{n} ⊥ (t \vec{m} + \vec{n})$ ，则实数t的值为（）

A、4 B、–4 C、 $\frac{9}{4}$ D、– $\frac{9}{4}$

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12. 设直线 $y = x + 2 a$ 与圆C： $x^{2} + y^{2} - 2 a y - 2 = 0$ 相交于A，B两点，若 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，则圆C的面积为（）.

A、 $4 π$ B、 $6 π$ C、 $8 π$ D、 $π$

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二、填空题

13. 已知向量 $a =(1， \sqrt{3}) ， b = (\sqrt{3} ， 1)$ ，则a与b夹角的大小为.

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14. 已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是.

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15. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是.

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16. 已知a∈R，方程a²x²+（a+2）y²+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是，半径是．

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三、解答题

17. 已知△ABC的面积三边长分别为AB=8，BC=5，AC=7.

(1)、求cosB；

(2)、求△ABC的面积.

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18. 在△ABC中，AC=6， $c o s B = \frac{4}{5}$ ， $C = \frac{π}{4}$ ．

(1)、求AB的长；

(2)、求 $c o s (A - \frac{π}{6})$ 的值．

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19. 如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B₁B上，且 $B_{1} D ⊥ A_{1} F$ ， $A_{1} C_{1} ⊥ A_{1} B_{1}$ .

求证：

(1)、直线DE $∥$ 平面A₁C₁F；

(2)、平面B₁DE⊥平面A₁C₁F.

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20. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} - 6 x - 8 y + 24 = 0$ .

(1)、圆O的圆心和半径；

(2)、已知点P $(2, 0)$ ，过点P作圆O的切线，试判断过点P可以作出几条切线？并求出切线方程.

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / D C ， D C ⊥ A C$ .

(1)、求证： $D C ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、 $A B = 2 ， A C = P C = 1$ ，求点C到面PBA的距离；

(3)、设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得 $P A //$ 平面 $C E F$ ？说明理由.

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22. 我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行调查，通过抽样，获得某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 $(0.0.5) ， (0.5 ， 1) ， \dots (4 ， 4.5]$ 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(1)、求直方图的 $a$ 的值；

(2)、设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；

(3)、估计居民月用水量的中位数.

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