广东省韶关市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $U = {x | 1 \leq x \leq 6 ， x \in N}$ ， $A = {x | (x - 2) (x - 3) = 0}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 ${4 ， 5}$ B、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ C、 ${1 ， 4 ， 5 ， 6}$ D、 ${1 ， 6}$

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2. 设平行四边形 $A B C D$ 的两条对角线 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ，则向量 $\vec{O A} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$

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3. 若直线 $(5 - 3 m) x + 4 y - 3 = 0$ 与直线 $2 x + (5 + m) y + 5 = 0$ 互相垂直，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、15 C、-1 D、-3

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4. 若二次函数 $f (x) = a (x + 2) (x - 4)$ 的图象经过点 $(0 ， - 4)$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为（）

A、-4 B、-5 C、 $- \frac{9}{2}$ D、 $- \frac{13}{2}$

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5. 为了得到函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (x + \frac{π}{6})$ 的图象，则只需将 $g (x) = \sqrt{2} \sin x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度

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6. 已知点 $A (1 ， 3)$ 和点 $B (5 ， 2)$ 到直线 $l$ 的距离相等，且 $l$ 过点 $(3 ， - 1)$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $x + 4 y + 1 = 0$ 或 $x = 3$ B、 $x + 4 y - 1 = 0$ 或 $x = 3$ C、 $x + 4 y + 1 = 0$ D、 $x + 4 y - 1 = 0$

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7. 我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为“鳖臑”.现有一鳖臑 $P - A B C$ 如图所示， $P B ⊥$ 底面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $P B = A C = 4$ ，其体积为8，则这个鳖臑的表面积为（）

A、 $4 + 4 \sqrt{17}$ B、32 C、 $8 + 8 \sqrt{5}$ D、 $24 + 8 \sqrt{13}$

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8. 已知圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} + 4 x + 2 = 0$ ，圆 $C_{2}$ 与 $C_{1}$ 关于直线 $x + y + 5 = 0$ 对称，设 $A$ ， $B$ 分别是圆 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的动点，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $3 \sqrt{2}$ C、 $5 \sqrt{2}$ D、 $7 \sqrt{2}$

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9. 已知定义在 $R$ 上的奇函数 $f (x)$ ，且当 $x > 0$ 时 $f (x)$ 是增函数，设 $a = f (\log_{3} \sqrt{5})$ ， $b = - f (\log_{3} \frac{1}{2})$ ， $c = f (\ln 3)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > b > c$ D、 $c > a > b$

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10. 在 $△ A B C$ 所在的平面上有一点 $P$ ，满足 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{A B}$ ，设 $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B P} =$ （）

A、 $\frac{1}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b}$ B、 $\frac{1}{3} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} - \frac{1}{3} \vec{b}$

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二、多选题

11. 设 $l$ ， $m$ ， $n$ 表示不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的有（）

A、若 $m / / l$ ，且 $m ⊥ α$ ，则 $l ⊥ α$ B、若 $m / / l$ ，且 $m / / α$ ，则 $l / / α$ C、若 $α \cap β = l$ ， $β \cap γ = m$ ， $γ \cap α = n$ ，则 $l / / m / / n$ D、若 $α \cap β = m$ ， $β \cap γ = l$ ， $γ \cap α = n$ ，且 $n / / β$ ，则 $l / / m$

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12. 已知函数 $f (x) = \sin (ω x - \frac{π}{6})$ （ $ω > 0$ ）在 $[0 ， π]$ 有且仅有3个零点，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T < π$ B、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， π)$ 上存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，满足 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 2$ C、函数 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 单调递增 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{13}{6} ， \frac{19}{6})$

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三、填空题

13. 已知 $\sin α = \frac{12}{13}$ ，且 $α$ 是第二象限角，则 $\cos α =$ .

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14. 已知圆心为 $C (0, - 2)$ ，且被直线 $2 x - y + 3 = 0$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{5}$ ，则圆 $C$ 的方程为．

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15. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $A B_{1}$ 与平面 $A B C_{1} D_{1}$ 所成的角的大小为.

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16. 定义：如果函数 $y = f (x)$ 在定义域内给定区间 $[a ， b]$ 上存在 $x_{0}$ （ $a < x_{0} < b$ ），满足 $f (x_{0}) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是 $[a ， b]$ 上的“平均值函数”， $x_{0}$ 是它的一个均值点.已知 $f (x) = x^{4}$ 是 $[- 1 ， 1]$ 上的平均值函数，则它的均值点为；若函数 $g (x) = - x^{2} + m x + 1$ 是 $[- 1 ， 1]$ 上的平均值函数，则实数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 设非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不共线.

(1)、若 $\vec{a} = (t ， 1)$ ， $\vec{b} = (5 ， t)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，求实数 $t$ 的值；

(2)、若 $\vec{O A} = \vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{O B} = \vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{a} + 3 \vec{b}$ .求证： $A$ ， $B$ ， $C$ 三点共线.

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18. 已知角 $α$ 的终边过点 $P (- 1, 2)$ .

(1)、求 $\cos α$ 和 $\tan α$ 的值；

(2)、若 $\tan β = \tan (π - α)$ ，求 $\frac{\cos (\frac{π}{2} - β)}{\sin (- β) + \cos (π + β)}$ 的值.

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19. 已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) - \frac{1}{5}$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）的最小正周期为4，且 $y = f (x)$ 的图象经过点 $P (- \frac{1}{3} ， \frac{4}{5})$ .

(1)、求 $ω$ 和 $φ$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(3)、求 $f (1) + f (2) + f (3) + \dots + f (2020)$ 的值.

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20. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是直角梯形， $A D / / B C$ ， $C B ⊥ A B$ ， $C B ⊥ P B$ ， $P B ⊥ A B$ ， $A D = P A = 2 B C = 2 P B = 4$ .

(1)、若 $F$ 为侧棱 $P D$ 的中点，求证： $C F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求点 $C$ 到平面 $P A D$ 的距离.

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21. 已知直线 $l ： k x - y - k + 2 = 0$ ，圆 $C$ 过坐标原点 $O$ .

(1)、若圆 $C$ 以 $C (1 ， 2)$ 为圆心，且圆 $C$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴的异于原点0的交点分别为 $A$ 、 $B$ ，求 $△ A O B$ 的面积；

(2)、若圆心 $C$ 在直线 $l$ 上，直线 $2 x + y - 6 = 0$ 与圆 $C$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，且 $| O D | = | O E |$ ，求实数 $k$ 的取值范围.

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22. 如图，某市为了提升城市形象，满足人民群众需要，拟在一个边长为4百米的正方形生态公园 $A B C D$ 中，规划修建以正方形中心 $O$ 为圆心， $\sqrt{2}$ 百米为半径的圆形观景湖，以及一条从边 $A B$ 上点 $P$ 出发，穿过生态公园且与观景湖相切的观赏道 $P Q$ （其中 $Q$ 在边 $A D$ 上）.参考公式： $\sin α + \cos α = \sqrt{2} \sin (α + \frac{π}{4})$

(1)、以点 $A$ 为原点，射线 $A B$ 为 $x$ 轴的正半轴建立平面直角坐标系，设 $∠ A P Q = θ$ ，求观赏道 $P Q$ 的长 $l$ 关于 $θ$ 的函数关系式 $f (θ)$ 及定义域 $I$ ；

(2)、在（1）的条件下，设 $g (θ) = \frac{2 (\sin θ + \cos θ + 1)}{\sin θ \cdot \cos θ} (θ \in I)$ ，若建造观赏道和观景湖总预算为 $M g (θ)$ 百万元（ $M$ 是正常数），试问当 $θ$ 为何值时，可使总预算最小？并求出此时最小预算.

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