广东省梅州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列可作为数列1，2，1，2，1，2，…的通项公式的是（）

A、 $a_{n} = \frac{1 + {(- 1)}^{n - 1}}{2}$ B、 $a_{n} = \frac{3 + {(- 1)}^{n}}{2}$ C、 $a_{n} = 2 - \sin \frac{n π}{2}$ D、 $a_{n} = 2 - \cos [(n - 1) π]$

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2. 若 $a < b$ ，则下列不等式中正确的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ C、 $a^{2} + b^{2} > 2 a b$ D、 $a c^{2} < b c^{2}$

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3. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 $a^{2} = b^{2} + c^{2} - b c$ ，则A等于（）

A、120° B、60° C、45° D、30°

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4. 已知等比数列 ${a_{n}}$ ， $a_{10}$ ， $a_{30}$ 是方程 $x^{2} - 10 x + 16 = 0$ 的两实根，则 $a_{20}$ 等于（）

A、4 B、±4 C、8 D、±8

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5. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（也称为素数，是一个大于1的自然数，除了1和它自身之外，不能被其它自然数整除的数叫做质数）之和，也就是我们所谓的“ $1 + 1$ ”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日，第五日，第八日所织之和为15尺，则第十五日所织尺数为（）

A、13 B、14 C、15 D、16

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7. 如图，点 $E$ 在正方体的棱 $C C_{1}$ 上，且 $C E = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，削去正方体过 $B ， E ， D_{1}$ 三点所在的平面下方部分，则剩下部分的左视图为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，要测量底部不能到达的某铁塔 $A B$ 的高度，在塔的同一侧选择 $C$ ， $D$ 两观测点，且在 $C$ ， $D$ 两点测得塔顶的仰角分别为 $45^{\circ}$ ， $30^{\circ}$ .在水平面上测得 $∠ B C D = 120^{\circ}$ ， $C$ ， $D$ 两地相距 $600 m$ ，则铁塔 $A B$ 的高度是（）

A、 $120 \sqrt{2} m$ B、480m C、 $240 \sqrt{2} m$ D、 $600 m$

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二、多选题

9. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是

A、年接待游客量逐年增加 B、各年的月接待游客量高峰期大致在8月 C、2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30 D、各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

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10. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的有（）

A、 $a ： b ： c = \sin A ： \sin B ： \sin C$ B、若 $\sin 2 A = \sin 2 B$ ，则 $a = b$ C、若 $\sin A > \sin B$ ，则 $A > B$ D、 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b + c}{\sin B + \sin C}$

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11. 已知 $S_{n}$ 是等差数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{8} > S_{9} > S_{7}$ ，有下列四个命题，其中是真命题的是（）

A、公差 $d < 0$ B、在所有 $S_{n} < 0$ 中， $S_{17}$ 最大 C、 $a_{8} > a_{9}$ D、满足 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的个数有15个

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12. 如图所示，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $Δ C D E$ 是边长为2的正三角形，点 $N$ 为正方形 $A B C D$ 的中心， $M$ 为线段 $D E$ 的中点， $B C ⊥ D E$ .则下列结论正确的是（）

A、平面 $C D E ⊥$ 平面 $A B C D$ B、直线 $B M$ 与 $E N$ 是异面直线 C、线段 $B M$ 与 $E N$ 的长度相等 D、直线 $E A$ 与平面 $A B C D$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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三、填空题

13. 不等式 $2 x^{2} - x < 0$ 的解集为．

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14. 某单位为了了解用电量与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温，并制作了对照表：

气温x（ $° C$ ）

2

16

12

4

用电量y（度）

14

28

44

62

由表中数据得到回归直线方程 $\hat{y} = - 3 x + a$ ，则预测当气温为 $2 ° C$ 时，用电量的度数是．

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15. 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm），结果如下：
甲品种：271       273     280     285     285     287     292     294     295

301     303     303     307     308     310     314     319     323

325     325     328     331     334     337     352

乙品种：284       292     295     304     306     307     312     313     315

315     316     318     318     320     322     322     324     327

329     331     333     336     337     343     356

由以上数据设计了如下茎叶图：

根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：

①；

②.

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16. 设 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 是半径为 $4$ 的球面上四点， $△ A B C$ 为等边三角形且其面积为 $9 \sqrt{3}$ ，则① $△ A B C$ 的外接圆半径为；②三棱锥 $D - A B C$ 体积的最大值为．

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四、解答题

17. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B = 45^{°}$ ， $A C = \sqrt{10}$ ， $\cos ∠ C = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 点 $D$ 是 $A B$ 的中点，求

(1)、边 $A B$ 的长；

(2)、 $\cos A$ 的值和中线 $C D$ 的长

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18. 如图，在四面体 $A B C D$ 中， $C D = C B$ ， $A D ⊥ B D$ ，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， B D$ 的中点．

（Ⅰ）求证：平面 $A B D ⊥$ 平面 $E F C$ ；

（Ⅱ）当 $A D = C D = B D = 1$ ，且 $E F ⊥ C F$ 时，求三棱锥 $C - A B D$ 的体积．

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19. 2017 高考特别强调了要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（文、理科试卷满分均为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为 $[50 ， 60) ， [60 ， 70) ， ... ， [90 ， 100]$ 分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.

(1)、求频率分布直方图中的 $x$ 的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

(2)、若高三年级共有2000名学生，试估计高三学生中这次测试成绩不低于70分的人数；

(3)、若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.

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20. 某玩具所需成本费用为 $p$ 元，且 $p$ 关于玩具数量 $x$ （套）的关系为： $p = 1000 + 5 x + \frac{1}{10} x^{2}$ ，而每套售出的价格为 $q$ 元，其中 $q (x) = a + \frac{x}{b} (a ， b \in R)$ ．

(1)、问：玩具厂生产多少套时，使得平均成本最少？

(2)、若生产出的玩具能全部售出，且当产量为150套时利润最大，此时每套价格为30元，求 $a$ 、 $b$ 的值．（利润 $=$ 销售收入 $-$ 成本）．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + n$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比 $q (q > 1)$ ，且 $b_{3} + b_{4} + b_{5} = 28$ ， $b_{4} + 2$ 是 $b_{3}$ 和 $b_{5}$ 的等差中项.

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = b_{n} + \frac{1}{a_{n}^{2} - 1}$ ， ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，若 $2 T_{n} ⩾ m$ 对一切 $n \in N^{*}$ 成立，求实数 $m$ 的最大值.

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22. 如图，在多面体 $A B C D E$ 中， $Δ A E B$ 为等边三角形， $A D / / B C ， B C ⊥ A B ，$ $C E = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = B C = 2 A D = 2 ，$ 点 $F$ 为边 $E B$ 的中点.

（Ⅰ）求证： $A F / /$ 平面 $D E C$ ；

（Ⅱ）求证：平面 $D E C ⊥$ 平面 $E B C$ ；

（Ⅲ）求直线 $A B$ 与平面 $D E C$ 所成角的正弦值.

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气温x（ $° C$ ）	2	16	12	4
用电量y（度）	14	28	44	62