广东省揭阳市产业园2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sin (- \frac{π}{3})$ 的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 设向量 $\overset{⇀}{a} = (2, 4)$ 与向量 $\overset{⇀}{b} = (λ, 6)$ 共线，则实数 $λ =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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3. 若函数 $y = \cos (ω x + \frac{π}{12}) (ω > 0)$ 的最小正周期为2，则 $ω =$ （）

A、1 B、2 C、π D、2π

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4. 下列说法正确的是（）

A、终边相同的角一定相等 B、 $- 831 °$ 是第二象限角 C、若角 $α$ ， $β$ 的终边关于 $x$ 轴对称，则 $α + β = 360 °$ D、若扇形的面积为 $\frac{3 π}{5}$ ，半径为2，则扇形的圆心角为 $\frac{3 π}{10}$

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5. 为了了解某同学的数学学习情况，对他的6次数学测试成绩进行统计，作出的茎叶图如图所示，则下列关于该同学数学成绩的说法正确的是（）

A、中位数为83 B、众数为85 C、平均数为85 D、方差为19

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6. 向量 $\vec{a} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， 1)$ ，则（）

A、 $\vec{a} / / \vec{b}$ B、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ C、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60° D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $30 °$

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7. 若 $\cos α = - \frac{1}{3}$ ， $α \in (\frac{π}{2} ， π)$ ，则 $\tan α$ 等于（）

A、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $- 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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8. 在ΔABC中,若 $| \overset{⇀}{A B} | = 3, | \overset{⇀}{A C} | = 4, ∠ B A C = 60 °$ ,则 $\overset{⇀}{B A} \cdot \overset{⇀}{A C}$ =（）

A、6 B、4 C、-6 D、-4

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9. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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10. 已知 $\sin (\frac{π}{6} + α) = \frac{1}{3}$ ，则 $\cos (\frac{2 π}{3} - 2 α) =$ （）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $- \frac{7}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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二、多选题

11. 从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（）

A、“至少一个红球”和“都是红球”是互斥事件 B、“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C、“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件 D、“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件

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12. 如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日S省及该省X市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（）

---- $•$ ----S省累计确诊----■----X市累计确诊

A、1月31日S省新冠肺炎累计确诊病例中 $X$ 市占比超过了 $\frac{1}{3}$ ； B、1月25日至2月12日 $S$ 省及该省 $X$ 市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势； C、2月2日后至2月10日 $S$ 省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例； D、2月8日至2月10日 $S$ 省及该省 $X$ 市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率．

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则 $| \vec{a} | =$ .

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14. 已知 $A (1 ， 2)$ ， $B (2 ， 3)$ ， $C (- 2 ， 5)$ ，则 $△ A B C$ 的形状是．

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15. 若 $x \in [0 ， π)$ ，则满足 $\sin x < \frac{\sqrt{2}}{2}$ 的 $x$ 的取值范围为；

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四、解答题

16. 求函数 $y = \sqrt{2 \cos x - 1}$ 的定义域．

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17. 已知 $f (α) = \frac{\sin (α - \frac{π}{2}) \cos (\frac{3 π}{2} - α) \tan (π + α) \cos (\frac{π}{2} + α)}{\sin (2 π - α) \tan (- α - π) \sin (- α - π)}$ .

(1)、化简 $f (α)$ .

(2)、若 $α$ 是第三象限角，且 $\cos (α - \frac{3 π}{2}) = \frac{1}{5}$ ，求 $f (α)$ .

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18. 设平面三点 $A (1 ， 0)$ 、 $B (0 ， 1)$ 、 $C (2 ， 5)$ .

(1)、试求向量 $2 \overset{⇀}{A B} + \overset{⇀}{A C}$ 的模；

(2)、若向量 $\overset{⇀}{A B}$ 与 $\overset{⇀}{A C}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ ；

(3)、求向量 $\overset{⇀}{A B}$ 在 $\overset{⇀}{A C}$ 上的投影．

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19. 学校从参加高一年级期中考试的学生中抽出50名学生，并统计了她们的数学成绩（成绩均为整数且满分为150分），数学成绩分组及各组频数如下：

$[60, 75), 2; [75, 90), 3; [90, 105), 14; [105, 120), 15; [120, 135), 12; [135, 150], 4;$

样本频率分布表：

分组	频数	频率
$[60, 75)$	2	0.04
$[75, 90)$	3	0.06
$[90, 105)$	14	0.28
$[105, 120)$	15	0.30
$[120, 135)$	$A$	$B$
$[135, 150]$	4	0.05
合计	$C$	$D$

(1)、在给出的样本频率分布表中，求

A, B, C, D

的值；

(2)、估计成绩在120分以上（含120分）学生的比例；

(3)、为了帮助成绩差的学生提高数学成绩，学校决定成立“二帮一”小组，即从成绩在

[135, 150]

的学生中选两位同学，共同帮助成绩在

[60, 75)

中的某一位同学.已知甲同学的成绩为62分，乙同学的成绩为120分，求甲、乙两同学恰好被安排在同一小组的概率.

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20. 某学校为了了解高中生的艺术素养，从学校随机选取男，女同学各50人进行研究，对这100名学生在音乐、美术、戏剧、舞蹈等多个艺术项目进行多方位的素质测评，并把调查结果转化为个人的素养指标 $x$ 和 $y$ ，制成下图，其中“*”表示男同学，“+”表示女同学.
若 $0 < x < 0.6$ ，则认定该同学为“初级水平”，若 $0.6 \leq x \leq 0.8$ ，则认定该同学为“中级水平”，若 $0.8 < x \leq 1$ ，则认定该同学为“高级水平”；若 $y \geq 100$ ，则认定该同学为“具备一定艺术发展潜质”，否则为“不具备明显艺术发展潜质”.

(1)、从50名女同学的中随机选出一名，求该同学为“初级水平”的概率；

(2)、从男同学所有“不具备明显艺术发展潜质的中级或高级水平”中任选2名，求选出的2名均为“高级水平”的概率；

(3)、试比较这100名同学中，男、女生指标 $y$ 的方差的大小（只需写出结论）.

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21. 已知 $\sin α = \frac{5}{13}$ ，且 $0 < α < \frac{π}{2}$ .

(1)、求 $\sin 2 α$ 的值；

(2)、若 $\cos (α - β) = \frac{4}{5}$ ， $0 < α < β < \frac{π}{2}$ ，求 $\cos β$ 的值.

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22. 某同学用“点法”作函数

f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})

在一个周期内的图象时，列出下表并填入了部分数据：

$x$		$\frac{π}{12}$		$\frac{7}{12} π$
$ω x + φ$	0		$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$A \sin (ω x + φ)$	0	3	0

（Ⅰ）将表格数据补充完整，并求出 $f (x)$ 的表达式及单调递增区间；

（Ⅱ）当 $x \in [- \frac{7 π}{24} ， \frac{5 π}{24}]$ 时，求 $f (x)$ 的最值及对应 $x$ 的值.

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