广东省惠州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 不等式 $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ 的解集为（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- \infty ， - 3) \cup (1 ， + \infty)$ D、 $- 3 < x < 1$

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2. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{4} = 1$ ， $a_{8} = 8$ ，则 $a_{12}$ 的值是（）

A、7 B、12 C、15 D、64

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3. 正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、8

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4. 不等式组 ${\begin{matrix} y \leq x + 1 \\ y \leq - x + 1 \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ 构成的区域面积为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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5. 关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - m x + 1 > 0$ 的解集为 $R$ ，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 4)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $[- 2 ， 2]$ D、 $(- 2 ， 2)$

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6. 在 $△ A B C$ 中， $B C = 2$ ， $A C = \sqrt{3}$ ， $∠ B C A = 30 °$ ，则 $∠ A$ 等于（）

A、90° B、60° C、45° D、120°

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7. 已知 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，若直线 $y = k (x + 2)$ 与线段 $A B$ 有公共点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 1]$ B、 $[1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $(- 0 ， - 1] \cup [1 ， + \infty)$

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8. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 2 b \cos C$ ，则此三角形一定是（）

A、等腰直角三角形 B、等腰三角形 C、直角三角形 D、钝角三角形

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9. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑[nào].如图，在鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 面 $B C D$ ， $A B = C D = 1$ ， $B C = \sqrt{2}$ ， $B D = \sqrt{3}$ ，则下列选项中，不正确的是（）

A、面 $A B C ⊥$ 面 $A C D$ B、二面角 $D - A B - C$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $A D$ 与面 $B C D$ 所成角为 $30 °$ D、三棱锥 $A - B C D$ 外接球的表面积为 $π$

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10. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d > 0$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，等比数列 ${b_{n}}$ 的公比 $q$ 是正整数，前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $a_{1} = d ， b_{1} = d^{2}$ ，且 $\frac{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}{b_{1} + b_{2} + b_{3}}$ 是正整数，则 $\frac{S_{9}^{2}}{T_{8}}$ 等于（）

A、 $\frac{45}{17}$ B、 $\frac{135}{17}$ C、 $\frac{90}{17}$ D、 $\frac{270}{17}$

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二、多选题

11. 若 $a > b > 0$ ，下列不等式成立的是（）

A、 $a^{2} < b^{2}$ B、 $a^{2} < a b$ C、 $\frac{b}{a} < 1$ D、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$

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12. 如图，直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，倾斜角分别为 $α_{1}$ ， $α_{2}$ ， $α_{3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $k_{1} < k_{3} < k_{2}$ B、 $k_{3} < k_{2} < k_{1}$ C、 $α_{1} < α_{3} < α_{2}$ D、 $α_{3} < α_{2} < α_{1}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前6项和为.

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14. 函数 $y = x^{2} + \frac{4}{x^{2} + 1}$ 的最小值为.

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15. 已知直线 $l$ 过点 $P (2, 4)$ ，且与直线 $x - 3 y - 1 = 0$ 平行，则直线 $l$ 的方程为.

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16. 一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西 $45 °$ 方向上，另一灯塔在南偏西 $60 °$ 方向上，则该船的速度是海里/小时.

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四、解答题

17.

(1)、求 $\frac{1 - \tan 15 °}{1 + \tan 15 °}$ 的值；

(2)、求函数 $f (x) = {(\sin x + \cos x)}^{2} + 2$ 的最大值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + n$ （其中 $n \geq 2$ 且 $n \in N *$ ）.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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19. 一条光线从点 $P (6 ， 4)$ 射出，与 $x$ 轴相交于点 $Q (2 ， 0)$ ，经 $x$ 轴反射后与 $y$ 轴交于点 $H$ .

(1)、求反射光线 $Q H$ 的方程；

(2)、求三角形 $P Q H$ 的面积.

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20. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $C = \frac{π}{3}$ ， $b = 5$ ， $△ A B C$ 的面积为 $10 \sqrt{3}$ .

(1)、求 $a$ ， $c$ 的值；

(2)、求 $\sin (A + \frac{π}{6})$ 的值.

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21. 已知几何体 $A B C D E F$ 中， $A B / / C D$ ， $F C / / E A$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A E ⊥$ 面 $A B C D$ ， $A B = A D = E A = 2$ ， $C D = C F = 4$ .

(1)、求三棱锥 $F - B C D$ 的体积；

(2)、求证：平面 $B D F ⊥$ 平面 $B C F$ .

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22. 如图，某公司拟购买一块地皮建休闲公园，从公园入口 $A$ 沿 $A B$ 、 $A C$ 方向修建两条小路，休息亭 $P$ 与入口两点间相距 $3 \sqrt{2} a$ 米（其中 $a$ 为正常数），过 $P$ 修建一条笔直的鹅卵石健身步行道，步行道交两条小路于 $E$ 、 $F$ 处，已知 $∠ B A P = 45 °$ ， $\cos ∠ B A C = \frac{5}{13}$ .

(1)、设 $A E = x$ 米， $A F = y$ 米，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；

(2)、若地皮单价为定值，试确定 $E$ 、 $F$ 的位置，使三条路围成的三角形 $A E F$ 地皮购价最低.

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