苏科版备考2021年中考数学三轮冲刺专题7 锐角三角函数

试卷更新日期：2021-05-26 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE 沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则tan∠ECF = （）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（）m.

A、10 B、15 C、15 $\sqrt{3}$ D、15 $\sqrt{3}$ ﹣5

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3. 斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）

A、500sinα米 B、 $\frac{500}{\sin a}$ 米 C、500cosα米 D、 $\frac{500}{\cos a}$ 米

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4. 如图在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（）km

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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5. 一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到达 $B$ 处，这时测得灯塔S在船的南偏西75°方向，则灯塔S离观测点A、B的距离分别是（）

A、 $(15 \sqrt{3} - 15)$ 海里、15海里 B、 $(15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{2})$ 海里、15海里 C、 $(15 \sqrt{3} - 15 \sqrt{2})$ 海里、 $15 \sqrt{2}$ 海里 D、 $(15 \sqrt{3} - 15)$ 海里、 $15 \sqrt{2}$ 海里

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6. 如图，一辆小车沿倾斜角为的斜坡向上行驶13米，已知 $\cos α = \frac{12}{13}$ ，则小车上升的高度是（）

A、5米 B、6米 C、6.5米 D、12米

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7. 如图，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60米到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，则这段河的宽度为（）

A、60（ $\sqrt{3}$ +1)米 B、30（ $\sqrt{3}$ +1)米 C、（90-30 $\sqrt{3}$ )米 D、30（ $\sqrt{3}$ -1)米

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8. 如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，若要轮船离电视塔最近，则还需向西航行（）

A、 $10 (\sqrt{3} + 1)$ 海里 B、 $10 (\sqrt{3} - 1)$ 海里 C、 $20 (\sqrt{3} + 1)$ 海里 D、 $20 (\sqrt{3} - 1)$ 海里

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9. 如图，一船以每小时36海里的速度向正北航行到A处，发现它的东北方向有一灯塔B，船继续向北航行40分钟后到达C处，发现灯塔B在它的北偏东75°方向，则此时船与灯塔的距离为（）

A、24 B、 $12 \sqrt{2}$ C、 $12 \sqrt{6}$ D、 $24 \sqrt{2}$

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10. 如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{10}}{10}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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11. 如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC=30°，点D是CB延长线上的一点，且BD=BA，则tan∠DAC的值为（）

A、 $2 + \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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12. 如图，小东在同一平面上按照如下步骤进行尺规作图：
（ 1 ）作线段AB，分别以A，B为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点C；

（ 2 ）以C为圆心，以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；

（ 3 ）连接BD，BC.则下列说法中不正确的是（　　）

A、∠ABD＝90° B、sin²A+cos²D＝1 C、DB＝ $\sqrt{3}$ AB D、点C是△ABD的外心

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13. 若锐角三角函数tan55°＝a，则a的范围是（）

A、0＜a＜1 B、1＜a＜2 C、2＜a＜3 D、3＜a＜4

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14.
如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°和60°，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=30m则信号发射塔顶端到地面的高度（即FG的长）为（）

A、（35 $\sqrt{3}$ +55）m B、（25 $\sqrt{3}$ +45）m C、（25 $\sqrt{3}$ +75）m D、（50+20 $\sqrt{2}$ ）m

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15. 如图，从坡上建筑物AB观测坡底建筑物CD．从A点处测得C点的俯角为45^o ，从B点处测得D点的俯角为30^o ．已知建筑物AB的高度为10m，AB与CD的水平距离是OD=15m，则CD的高度为（）

A、（5 $\sqrt{3}$ ﹣5）m B、（10 $\sqrt{2}$ ﹣10）m C、（10﹣5 $\sqrt{2}$ ）m D、（10﹣5 $\sqrt{3}$ ）m

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二、填空题

16. 如图，小强在教学楼的点P处观察对面的办公大楼.为了测量点P到对面办公大楼上部AD的距离，小强测得办公大楼顶部点A的仰角为45°，测得办公大楼底部点B的俯角为60°.已知办公大楼高46m，CD＝10m，则点P到AD的距离为m.(用含根号的式子表示)

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17. 位于湖北省荆州市滨江公园旁的万寿宝塔始建于明熹靖年间，周边风景秀丽.随着年代的增加，目前塔底低于地面约7米.某校学生先在地面 $A$ 处侧得塔顶的仰角为30°，再向古塔方向行进 $a$ 米后到达 $B$ 处，在 $B$ 处侧得塔顶的仰角为45°(如图所示)，已知古塔的整体高度约为40米，那么 $a$ 的值为米.(结果保留根式)

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18. 如图，已知点C处有一个高空探测气球，从点C处测得水平地面上A、B两点的俯角分别为30°和45°，若AB=2km，则A、C两点之间的距离为km。

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19. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝ $\frac{3}{5}$ ，则tan∠B＝．

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20. 如图，在楼顶点 $A$ 处观察旗杆 $C D$ 测得旗杆顶部 $C$ 的仰角为30°，旗杆底部 $D$ 的俯角为45°.已知楼高 $A B = 9$ m，则旗杆 $C D$ 的高度为．（结果保留根号）

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21. 若 $∠ A$ 为锐角，当 $tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 时， $cos A =$ ．

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22. 在△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ $\frac{3}{5}$ ，则tanA等于．

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23. 如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形ABCD，AE，DF为梯形的高，其中迎水坡AB的坡角α=45°，坡长AB=10 $\sqrt{2}$ 米，背水坡CD的坡度i=1： $\sqrt{3}$ ，则背水坡的坡长CD为米．

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24. 如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果保留根号）．

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25.
如图是石景山当代商场地下广场到地面广场的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示地下广场、地面广场电梯口处的水平线．已知∠ABC=135°，BC的长约是6 $\sqrt{2}$ m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是 m．

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三、解答题

26. 如图，某城市的一座古塔CD坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量古塔CD的高度，在点A处测得塔尖点D的仰角∠DAC为31°，沿射线AC方向前进35米到达湖边点B处，测得塔尖点D在湖中的倒影E的俯角∠CBE为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果精确到0.1）.参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60.（结果精确到0.1）

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27. 某校九年级数学兴趣小组的同学进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量某塔的高度.他们先在点D用高1.5米的测角仪 $D A$ 测得塔顶M的仰角为30°，然后沿 $D F$ 方向前行 $40 m$ 到达点E处，在E处测得塔顶M的仰角为60°.请根据他们的测量数据求此塔 $M F$ 的高.（结果精确 $0.1 m$ ，参考数据： $\sqrt{2} = 1.41$ ， $\sqrt{3} = 1.73$ ， $\sqrt{6} = 2.45$ ).

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28. 如图，一艘船以每小时30海里的速度向北偏东75°方向航行，在点 $A$ 处测得码头 $C$ 的船的东北方向，航行40分钟后到达 $B$ 处，这时码头 $C$ 恰好在船的正北方向，在船不改变航向的情况下，求出船在航行过程中与码头 $C$ 的最近距离.（结果精确的0.1海里，参考数据 $\sqrt{2} \approx {1.41}_{：} \sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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29. 数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度.如图所示，炎帝塑像DE在高55 m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21 m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度.（精确到1 m.参考数据：tan34°≈0.67，tan60°= $\sqrt{3} \approx$ 1.73）

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30. 如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物 $A B C D$ 的 $A ， C$ 两点测得该塔顶端 $E$ 的仰角分别为 $∠ α = 48^{°}$ 和 $∠ β = 65^{°}$ ，矩形建筑物的宽度 $A D = 18 m$ ，高度 $C D = 30 m$ ，求信号发射塔顶端到地面的距离 $E F$ . （结果精确到 $0.1 m$ ）
（参考数据： $s i n 48^{°} \approx 0.7 ， c o s 48^{°} \approx 0.7 ， t a n 48 ° \approx 1 ， 1 ，， s i n 65^{°} \approx 0.9 ， c o s 65^{°} \approx 0.4 ， t a n 65^{°} \approx 2.1$ ）

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31. 小明想利用所学知识测量一公园门前热气球直径的大小，如图，当热气球升到某一位置时，小明在点A处测得热气球底部点C、中部点D的仰角分别为50°和60°，已知点O为热气球中心，EA⊥AB，OB⊥AB，OB⊥OD，点C在OB上，AB＝30m，且点E、A、B、O、D在同一平面内，根据以上提供的信息，求热气球的直径约为多少米？（精确到0.1m）
（参考数据：sin50°≈0.7660，cos50°≈0.6428，tan50°＝1.192）

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32. 如图，小王在长江边某瞭望台D处测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，则此时AB的长约为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

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33. 如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米.已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝ $1 ： \sqrt{3}$ （即tan∠DEM＝ $1 ： \sqrt{3}$ ），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，M、E、C、N在同一条直线上，求条幅AB的长度（结果保留根号）.

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34. 如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长.（参考数据： $\sqrt{3}$ ≈1.7，结果保留一位小数）

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35. 如图，B位于A南偏西37°方向，港口C位于A南偏东35°方向，B位于C正西方向. 轮船甲从A出发沿正南方向行驶40海里到达点D处，此时轮船乙从B出发沿正东方向行驶20海里至E处，E位于D南偏西45°方向.这时，E处距离港口C有多远？（参考数据：tan37°≈0.75，tan35°≈0.70）

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36. 已知，如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°.求：
坡顶A到地面PO的距离；古塔BC的高度（结果精确到1米）.

（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）

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37. 共享单车为大众出行提供了方便，如图为单车实物图，如图为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知，∠ABE=70°，∠EAB=45°，车轮半径为0.3m，BE=0.4m.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）参考数据：sin70.≈0.94，cos70.≈0.34，tan70.≈2.75， $\sqrt{2}$ ≈1.41

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38. 如图，山坡AB的坡度i=1： $\sqrt{3}$ ，AB=10米，AE=15米．在高楼的顶端竖立一块倒计时牌CD，在点B处测量计时牌的顶端C的仰角是45°，在点A处测量计时牌的底端D的仰角是60°，求这块倒计时牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.414， $\sqrt{3}$ ≈1.732）

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39. 如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED=60°，在离电线杆6m的B处安置高为1.5m的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE的长．（结果保留根号）

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40. 如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度=1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置P的铅直高度PB．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）

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