苏科版备考2021年中考数学三轮冲刺专题6 几何动态及最值问题

试卷更新日期：2021-05-26 类型：三轮冲刺

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一、单选题

1. 如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF.则在点E运动过程中，DF的最小值是（）

A、6 B、3 C、2 D、1.5

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2. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别为O（0，0），A（12，0），B（8，6），C（0，6）.动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边OA向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边BC向终点C运动.设运动的时间为t秒，作AG⊥PQ于点G，则AG的最大值为（）

A、 $\sqrt{73}$ B、 $\frac{18 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{36}{5}$ D、6

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3. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（10，0），点P为线段OA上任意一点.在直线y＝ $\frac{3}{4}$ x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（）

A、4.8 B、5 C、5.4 D、6

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4. 如图，等边△ABC的边长为1，D，E两点分别在边AB，AC上，CE=DE，则线段CE的最小值为（）

A、2﹣ $\sqrt{3}$ B、2 $\sqrt{3}$ ﹣3 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$

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5. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝17，折叠纸片使点B落在边AD上的E处，折痕为PQ.当E在AD边上移动时，折痕的端点P，Q也随着移动.若限定P，Q分别在边BA，BC上移动，则点E在边AD上移动的最大距离为（）

A、6 B、7 C、8 D、9

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6. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，E，F分别是边 $A B$ ， $A D$ 上的动点， $A E = D F$ ，连接 $D E$ ， $C F$ 交于点P，过点P作 $P K / / B C$ ，且 $P K = 2$ ，若 $∠ C B K$ 的度数最大时，则 $B K$ 长为（）

A、6 B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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7. 如图，已知P是半径为3的⊙A上一点，延长AP到点C，使AC＝4，以AC为对角线作▱ABCD，AB＝4 $\sqrt{3}$ ，⊙A交边AD于点E，当▱ABCD面积为最大值时， $\overset{⌢}{E P}$ 的长为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ π B、π C、 $\frac{3}{2}$ π D、3π

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8. 如图，直线l与⊙O相切于点A，M是⊙O上的一个动点，MH⊥l，垂足为H.若⊙O的半径为1，则MA-MH的最大值为（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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9. 如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3.E，F分别是AD，CD上的动点，EF=2.Q是EF的中点，P为BC上的动点，连接AP，PQ.则AP+PQ的最小值等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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10. 如图，已知⊙ $C$ 的半径为3，圆外一点 $O$ 满足 $O C = 5$ ，点 $P$ 为⊙ $C$ 上一动点，经过点 $O$ 的直线 $l$ 上有两点 $A$ 、 $B$ ，且OA=OB，∠APB=90°， $l$ 不经过点 $C$ ，则 $A B$ 的最小值（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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11. 如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB、AC于点E、F，则弦EF长度的最小值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{6}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{3}$

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12. 如图，已知A，B两点的坐标分别为(8，0)，(0，8)，点C，F分别是直线 $x = - 5$ 和 $x$ 轴上的动点， $C F = 10$ ，点D是线段 $C F$ 的中点，连接 $A D$ 交 $y$ 轴于点E，当 $Δ A B E$ 面积取得最小值时， $\tan ∠ B A D$ 的值是（）

A、 $\frac{8}{17}$ B、 $\frac{4 \sqrt{2}}{17}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{13}$ D、 $\frac{7}{17}$

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13. 如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC上任意一点（可与点B或C重合），分别过B、C、D作射线AP的垂线，垂足分别是B′、C′、D′，则BB′＋CC′＋DD′的最小值是（　　）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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14. 如图，正方形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $E$ 是 $B C$ 中点， $C D$ 上有一动点 $M$ ，连接 $E M$ 、 $B M$ ，将 $Δ B E M$ 沿着 $B M$ 翻折得到 $Δ B F M$ .连接 $D F$ 、 $C F$ ，则 $D F + \frac{1}{2} F C$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{2}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、 $\frac{12}{5}$

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二、填空题

15. 如图，AB是半⊙O的直径，点C在半⊙O上，AB=5cm，AC=4cm.D是 $\overset{⏜}{B C}$ 上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE.在点D移动的过程中，BE的最小值为.

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16. 已知点 $A$ 、 $B$ 是半径为 $2$ 的 $⊙ O$ 上两点，且 $∠ B O A = 120 °$ ，点 $M$ 是 $⊙ O$ 上一个动点，点 $P$ 是 $A M$ 的中点，连接 $B P$ ，则 $B P$ 的最小值是.

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17. 如图，已知在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点M是AC边上任意一点，连接MB，以MB、MC为邻边作平行四边形MCNB，连接MN，则MN的最小值是

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18. 如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是A边上一点，且AE＝ $\sqrt{3}$ ，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为.

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19. 如图，在矩形ABCD中， $A B = 6 ， A D = 8$ ，点E在AD边上，且 $A E ： E D = 1 ： 3$ ，动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止，过点E作 $E F ⊥ P E$ ，交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为.

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20. 如图，折线 $A B - B C$ 中， $A B = 3$ ， $B C = 5$ ，将折线 $A B - B C$ 绕点A按逆时针方向旋转，得到折线 $A D - D E$ ，点B的对应点落在线段 $B C$ 上的点D处，点C的对应点落在点E处，连接 $C E$ ，若 $C E ⊥ B C$ ，则 $\tan ∠ E D C =$ °.

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21. 如图，在平面直角坐标系中，A（1， $\sqrt{3}$ ），B（2，0），C点在x轴上运动，过点Ｏ作直线AC的垂线，垂足为D.当点C在x轴上运动时，点D也随之运动.则线段BD长的最大值为.

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22. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 10 ， B C = 5$ ，将直角三角板的直角顶点与 $A C$ 边的中点 $P$ 重合，直角三角板绕着点 $P$ 旋转，两条直角边分别交 $A B$ 边于 $M ， N$ ，则 $M N$ 的最小值是.

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23. 如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是.

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24. 如图所示，等边△ABC的边长为4，点D是BC边上一动点，且CE＝BD，连接AD，BE，AD与BE相交于点P，连接PC.则线段PC的最小值等于.

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25. 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=4.如图，将直角顶点B放在原点，点A放在y轴正半轴上，当点B在x轴上向右移动时，点A也随之在y轴上向下移动，当点A到达原点时，点B停止移动，在移动过程中，点C到原点的最大距离为.

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26. 如图，正方形ABCD的边长为2，E为BC上一点，且 $B E = 1 ，$ F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为底向右侧作等腰直角 $△ E F G$ ，连接CG，则CG的最小值为.

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27. 如图，等边△AOB，点C是边AO所在直线上的动点，点D是x轴上的动点，在矩形CDEF中，CD=6，DE= $\sqrt{3}$ ，则OF的最小值为.

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28. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B ＝ 10$ ， $A C ＝ 8$ ， $B C ＝ 6$ ，经过点 $C$ 且与边 $A B$ 相切的动圆与 $C A$ ， $C B$ 分别相交于点 $P$ ， $Q$ ，则线段 $P Q$ 长度的最小值是.

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29. 如图，在等边△ABC中，AB=4，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是.

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三、综合题

30. 如图，在▱ABCD中，AB＝5，BC＝10，sinB＝ $\frac{4}{5}$ ，点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿着B→C→D→A的方向运动到点A时停止，设点P运动的时间为ts.

(1)、连接AC，判断△ABC是否是直角三角形，试说明理由；

(2)、在点P运动的过程中，若以点C为圆心、PC长为半径的⊙C与AD边相切，求t的值；

(3)、在点P出发的同时，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C出发，沿着C→D→A的方向运动，当P、Q中的一点到达终点A时，另一点也停止运动.求当BP⊥CQ时t的值.

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31. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AD边上的动点，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在点 $A^{'}$ 处，连接 $A^{'} C$ 、BD.

(1)、如图1，求证：∠DE $A^{'}$ ＝2∠ABE；

(2)、如图2，若点 $A^{'}$ 恰好落在BD上，求tan∠ABE的值；

(3)、若AE＝2，求 $S_{△ A^{'} C B}$ .

(4)、点E在AD边上运动的过程中，∠ $A^{'}$ CB的度数是否存在最大值，若存在，求出此时线段AE的长；若不存在，请说明理由.

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32. 在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动.如图1，现有矩形纸片ABCD，AB＝8cm，AD＝6cm.连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD和△BCE.保持△ABD位置不变，将△BCE从图1的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α＜360°）.在△BCE旋转过程中，边CE与边AB交于点F.

(1)、如图2，将图1中的△BCE旋转到点C落在边BD上时，CF= ；

(2)、继续旋转△BCE，当点E落在DA延长线上时，求出CF的长；

(3)、在△BCE旋转过程中，连接AE，AC，当AC＝AE时，直接写出此时α的度数及△AEC的面积.

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33. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ} ， B C = 6 ， A C = 8.$ 点E与点B在 $A C$ 的同侧，且 $A E ⊥ A C$ .

(1)、如图1，点E不与点A重合，连结 $C E$ 交 $A B$ 于点P.设 $A E = x ， A P = y ，$ 求y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；

(2)、是否存在点E，使 $△ P A E$ 与 $△ A B C$ 相似，若存在，求AE的长；若不存在，请说明理由；

(3)、如图2，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A E ，$ 垂足为 $D$ .将以点 $E$ 为圆心， $E D$ 为半径的圆记为 $⊙ E$ .若点 $C$ 到 $O E$ 上点的距离的最小值为 $8$ ，求 $⊙ E$ 的半径.

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34. 如图1，已知：在矩形ABCD中，AB $= 3 \sqrt{3}$ cm，AD＝9cm，点O从A点出发沿AD以acm/s的速度移向点D移动，以O为圆心，2cm长为半径作圆，交射线AD于M（点M在点O右侧）．同时点E从C点出发沿CD以 $\sqrt{3}$ cm/s的速度移向点D移动，过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为点G．若在整过移动过程中△EFG的直角顶点G能与点M重合．设运动时间为t（0＜t≤3）秒．

(1)、求a的值；

(2)、在运动过程中，
①当直线FG与⊙O相切时，求t的值；

②是否存在某一时刻t，使点G恰好落在⊙O上（异于点M）？若存在，请写出t的值；若不存在，请说明理由．

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35. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0），点B的坐标为（0，2），点M从点A出发沿x轴负方向以每秒3cm的速度移动，同时点N从原点出发沿y轴正方向以每秒1cm的速度移动.设移动的时间为t秒.

(1)、若点M在线段OA上，试问当t为何值时，△ABO与以点O、M、N为顶点的三角形相似？

(2)、若直线y=x与△OMN外接圆的另一个交点是点C.
①试说明：当0<t<2时，OM、ON、OC在移动过程满足OM+ON= $\sqrt{2}$ OC；

②试探究：当t>2时，OM、ON、OC之间的数量关系是否发生变化，并说明理由.

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36.

(1)、如图，已知△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE∥BC，DE= $\frac{1}{2}$ BC．

(2)、利用第（1）题的结论，解决下列问题：
①如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，求证：EF∥BC，FE= $\frac{1}{2}$ （AD+BC）

②如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3 $\sqrt{3}$ ，AD＝3，点M，N分别在边AB，BC上，点E，F分别为MN，DN的中点，连接EF，求EF长度的最大值．

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37. 如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，BC＝20，经过点C的⊙O与△ABC的每条边都相交.⊙O与AC边的另一个公共点为D，与BC边的另一个公共点为E，与AB边的两个公共点分别为F、G.设⊙O的半径为r.

(1)、（操作感知）
根据题意，仅用圆规在图①中作出一个满足条件的⊙O，并标明相关字母；

(2)、（初步探究）
求证：CD²+CE²＝4r²；

(3)、当r＝8时，则CD²+CE²+FG²的最大值为；

(4)、（深入研究）
直接写出满足题意的r的取值范围；对于范围内每一个确定的r的值，CD²+CE²+FG²都有最大值，每一个最大值对应的圆心O所形成的路径长为.

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38. （操作体验）
如图①，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得∠APB=30°，如图②，小明的作图方法如下：

第一步：分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧在AB上方交于点O；

第二步：连接OA，OB；

第三步：以O为圆心，OA长为半径作⊙O，交l于 $P_{1} ， P_{2}$ ；

所以图中 $P_{1} ， P_{2}$ 即为所求的点.（1）在图②中，连接 $P_{1} A ， P_{1} B$ ，说明∠ $A P_{1} B$ =30°

（方法迁移）

(1)、如图③，用直尺和圆规在矩形ABCD内作出所有的点P，使得∠BPC=45°，（不写做法，保留作图痕迹）.

(2)、已知矩形ABCD，BC=2.AB=m，P为AD边上的点，若满足∠BPC=45°的点P恰有两个，则m的取值范围为.

(3)、已知矩形ABCD，AB=3，BC=2，P为矩形ABCD内一点，且∠BPC=135°，若点P绕点A逆时针旋转90°到点Q，则PQ的最小值为.

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39.

(1)、如图1，点 $A$ 在 $⊙ O$ 上，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形 $A B C$ ，使得点B、C都在 $⊙ O$ 上.

(2)、已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = m$ .
①如图2，当 $m = 4$ 时，请在图中用直尺（不含刻度）和圆规作等边三角形 $A E F$ ，使得点 $E$ 在边 $B C$ 上，点 $F$ 在边 $C D$ 上；

②若在该矩形中总能作出符合①中要求的等边三角形 $A E F$ ，请直接写出 $m$ 的取值范围.

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40. （概念认识）
若以三角形某边上任意一点为圆心，所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上，则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.

如图①，点P是锐角△ABC的边BC上一点，以P为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上.当半径最大时，半圆P为边BC关联的极限内半圆.

(1)、（初步思考）若等边△ABC的边长为1，则边BC关联的极限内半圆的半径长为.

(2)、如图②，在钝角△ABC中，用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆（保留作图痕迹，不写作法）.

(3)、（深入研究）如图③，∠AOB＝30°，点C在射线OB上，OC＝6，点Q是射线OA上一动点.在△QOC中，若边OC关联的极限内半圆的半径为r，当1≤r≤2时，求OQ的长的取值范围.

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