四川省绵阳市三台县2021年数学中考一模试卷

试卷更新日期：2021-05-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 古钱币是我国悠久的历史文化遗产，以下是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 起重机将质量为6.5t的货物沿竖直方向提升了2m，则起重机提升货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg）

A、1.3×10⁶J B、13×10⁵J C、13×10⁴J D、1.3×10⁵J

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3. 用一把带有刻度的直尺，① 可以画出两条平行的直线与b，如图⑴；② 可以画出∠AOB的平分线OP，如图⑵所示；③ 可以检验工件的凹面是否为半圆，如图⑶所示；④ 可以量出一个圆的半径，如图⑷所示.这四种说法正确的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（）

A、10° B、14° C、16° D、26°

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5. 如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数 $y ＝ \frac{k}{x}$ （k≠0，x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（）

A、10 B、4 $\sqrt{3}$ C、3 $\sqrt{2}$ D、5

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6. 定义运算：若a^m＝b，则log_ab＝m（a＞0），例如2³＝8，则log₂8＝3.运用以上定义，计算：log₅125﹣log₃81＝（）

A、﹣1 B、2 C、1 D、44

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7. 将抛物线M：y=- $\frac{1}{3}$ x²+2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线M'．若抛物线M'与x轴交于A、B两点，M'的顶点记为C，则∠ACB=（）

A、45° B、60° C、90° D、120°

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8. 如图，△ABC、△FED区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线PB与地面BE的央角∠PBE＝43°，视线PE与地面BE的夹角∠PEB＝20°，点A，F为视线与车窗底端的交点，AF $//$ BE，AC⊥BE，FD⊥BE.若A点到B点的距离AB＝1.6m，则盲区中DE的长度是（）（参考数据：sin43°≈0.7，tan43°≈0.9，sin20°≈0.3，tan20°≈0.4）

A、2.6m B、2.8m C、3.4m D、4.5m

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9. 设方程x²+x﹣1=0的一个正实数根为a，2a³+a²﹣3a的值是（）

A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣3

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10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，F为边CD的中点，E为矩形ABCD外一动点，且∠AEC＝90°，则线段EF的最大值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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11. 若数a使关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{x}{3} - 2 ⩽ \frac{1}{4} (x - 7) \\ 6 x - 2 a > 5 (1 - x) \end{array}$ 有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程 $\frac{1 - 2 y}{y - 1} - \frac{a}{1 - y} = - 3$ 的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（）

A、﹣3 B、﹣2 C、﹣1 D、1

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12. 如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OG、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF＝90°，BO、EF交于点P.则下列结论中：
（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF＝ $\sqrt{2}$ OA；（4）AE²+CF²＝2OP•OB.
正确的结论有（）个.

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

13. 分解因式：3x²﹣6xy+3y²= ．

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14. 如图，在线段AB上取一点C，分别以AC、BC为边长作菱形ACDE和菱形BCFG，使点D在CF上，连接EG，H是EG的中点，EG=4，则CH的长是.

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15. 如图，边长为2 $\sqrt{3}$ cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为cm.

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16. 如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度 $A B$ 为 $20 m$ ，顶点M距水面 $6 m$ （即 $M O = 6 m$ ），小孔顶点N距水面 $4 m$ （即 $N C = 4 m$ ）.当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度 $E F$ 是m.

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17. 普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间大大缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的倍.

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18. 如图，二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣1，2），且与x轴交点的横坐标为x₁、x₂ ，其中﹣2＜x₁＜﹣1，0＜x₂＜1，则下列结论：①2a﹣b＜0，②4a﹣2b+c＞0，③b²+8a＞4ac，④当x＞0时，函数值随x的增长而减少，⑤a+c＜1.其中正确的是（填序号）.

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三、解答题

19. 计算： $- 2^{2} + (1 - \tan 30 °) \times \sqrt{3} + {(- \frac{1}{2})}^{- 2} + {(- π)}^{0} - | \sqrt{3} - 2 |$ .

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20. 先化简，再求值： $(x - y - \frac{x^{2}}{x + y}) \div \frac{y^{2}}{x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ ，其中x，y的取值是二元一次方程x+2y＝7的一对整数解.

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21. $2020$ 年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通， $5 G$ 基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《 $2020$ 新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（ $5 G$ 基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．下图是其中的一个统计图．
请根据图中信息，解答下列问题：

(1)、填空：图中 $2020$ 年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是亿元；

(2)、甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“ $5 G$ 基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；

(3)、小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为 $W$ ， $G$ ， $D$ ， $R$ ， $X$ 的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为 $W$ （ $5 G$ 基站建设）和 $R$ （人工智能）的概率．

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22. Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图所示，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2.

(1)、求m与n的数量关系；

(2)、当tan∠BAC＝ $\frac{1}{2}$ 时，求反比例函数的解析式和直线AB的解析式；

(3)、设P是线段AB边上的点，在（2）的条件下，是否存在点P，以B，C，P为顶点的三角形与△EDB相似？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

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23. 如图，在 $R t Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 ° ， A C = 6 ， B C = 8$ ，AD平分 $∠ B A C$ ，AD交BC于点D， $E D ⊥ A D$ 交AB于点E， $Δ A D E$ 的外接圆⊙O交AC于点F，连接EF．

(1)、求证：BC是⊙O的切线；

(2)、求⊙O的半径r及 $∠ 3$ 的正切值．

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24. “扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）之间存在一次函数关系，如图所示.

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

(2)、如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？

(3)、该网店店主热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围.

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25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.

(1)、直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.

(2)、点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为 $\frac{25}{4}$ 时，求抛物线的函数表达式；

(3)、设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.

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26. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止.连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF.

(1)、求证：△DPF为等腰直角三角形；

(2)、若点P的运动时间t秒.
①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点；

②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值.

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