江苏省常州市2021年数学中考新课结课试卷（4月）

试卷更新日期：2021-05-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 在平面直角坐标系中，点（2，6）关于原点对称的点的坐标是（）

A、（﹣2，﹣6） B、（﹣2，6） C、（﹣6，﹣2） D、（6，2）

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2. 一元二次方程 $x^{2} + 2 x = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、没有实数根

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3. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：

跳高成绩 $(m)$

1.50

1.55

1.60

1.65

1.70

1.75

跳高人数

1

3

2

3

5

1

这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）

A、1.65，1.70 B、1.70，1.65 C、1.60，1.70 D、3，5

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4. 如图，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，⊙O的半径为（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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5. 已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆.若∠ABC＝25°，则劣弧 $\overset{⌢}{A C}$ 的长为（）

A、 $\frac{25 π}{36}$ B、 $\frac{125 π}{36}$ C、 $\frac{25 π}{18}$ D、 $\frac{5 π}{36}$

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6. 关于二次函数y＝（x－1）²+2，下列说法正确的是（）

A、图象与y轴的交点坐标为（0，2） B、图象的对称轴在y轴的左侧 C、y的最大值为2 D、当x＞1时，y的值随x值的增大而增大

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7. 已知⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm²）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、2 $\sqrt{5}$

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二、填空题

9. 若 $\tan α = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，则锐角 $α$ 的度数是.

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10. 已知一元二次方程 $x^{2} - 6 x + c = 0$ 有一个根为 $2$ ，则另一根为.

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11. 如果一个正多边形的每一个外角都是 $72 °$ ，那么这个多边形是边形.

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12. 一个不透明的口袋中装有1个黄球和1白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球然后放回，再搅匀任意摸出1个球，小红第1次摸到的是黄球，那么小红第2次摸到黄球的概率是.

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13. 某农科院为了选出适合某地种植的甜玉米种子，对甲、乙两个品种甜玉米各用10块试验田进行实验，得到这两个品种甜玉米每公顷产量的两组数据（如图所示）.根据图6中的信息，可知在试验田中，种甜玉米的产量比较稳定.

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14. 同一温度的华氏度数y(℉)与摄氏度数x(℃)之间的函数解析式是y＝ $\frac{9}{5}$ x＋32.若某一温度的摄氏度数值与华氏度数值恰好相等，则此温度的摄氏度数为℃.

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15. 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上.已知纸板的两条边DF＝50cm，DE＝40cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝12m，则树高AB=.

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16. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC= ．

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17. 如图，以点C（0，1）为位似中心，将△ABC按相似比1：2缩小，得到△DEC，则点A（1，﹣1）的对应点D的坐标为.

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18. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ $\frac{1}{3}$ ，则点F与点C的最小距离为.

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三、解答题

19. 计算： $2 \cos 30 ° + \sqrt{3} \sin 45 ° - 6 \tan 30 °$ .

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20. 解下列方程：

(1)、x²﹣6x﹣3＝0；

(2)、3x（x﹣1）＝2（1﹣x）.

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21. 我市某校想知道学生对家乡旅游品牌的了解程度，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必选且只选一项）A.十分了解，B.了解较多，C.了解较少，D.不知道.将调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，根据两幅统计图中的信息回答下列问题

(1)、本次调查了多少名学生？补全条形统计图；

(2)、扇形统计图中，A选项所对应扇形的圆心角度数为多少？

(3)、该校共有500名学生，请你估计“不知道”的学生有多少名？

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22. 甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作.

(1)、若随机抽取1名，则恰好抽中甲的概率是；

(2)、若随机抽取2名，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出甲在其中的概率.

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23. 将线段 $A B$ 放在正方形网格中，点A、点B均在格点上.请你分别按要求在下图中画点C（点C在格点上）.

(1)、在图1中画 $R t △ A B C$ ，使得 $\tan ∠ A B C$ 的值为 $\frac{1}{3}$ ；

(2)、在图2中画 $R t △ A B C$ ，使得 $\tan ∠ A B C$ 的值为1；

(3)、在图3中画钝角 $△ A B C$ ，使得 $\tan ∠ A C B$ 的值为 $\frac{1}{3}$ （请画出2种不同的图形）.

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24. 某购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其中斜坡AD与地平线的夹角为18°，一楼到地下停车场地面的距离CD＝2.8米，地平线到一楼的垂直距离BC＝1米.

(1)、应在地面上距点B多远的A处开始斜坡施工？（精确到0.1米）

(2)、如果给该购物广场送货的货车高度为2.5米，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？请说明理由.（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）

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25. 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．

(1)、若想要这种童装销售利润每天达到1200元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？

(2)、当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？

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26. 如图，P为x轴正半轴上一点，过点P作x轴的垂线，交函数 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 的图象于点A，交函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交 $y = \frac{1}{x} (x > 0)$ 于点C，连结 $A C$ .

(1)、当点P的坐标为 $(2 ， 0)$ 时，求 $△ A B C$ 的面积；

(2)、当点P的坐标为 $(t ， 0)$ 时， $△ A B C$ 的面积是否随t值的变化而变化？

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27.

(1)、（问题情境）
射影定理：如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，如果 $C D ⊥ A B$ ，垂足为D，那么有① $C D^{2} = A D \cdot B D$ ；② $A C^{2} = A B \cdot A D$ ；③ $B C^{2} = A B \cdot B D$ ；请你证明射影定理中的结论③即 $B C^{2} = A B \cdot B D$ .

(2)、（结论运用：请直接使用射影定理解决下列问题）
如图2，正方形 $A B C D$ 的边长为6，点O是对角线 $A C 、 B D$ 的交点，点E在 $C D$ 上，过点C作 $C F ⊥ B E$ ，垂足为F，连接 $O F$ ，

①求证： $△ B O F ∽ △ B E D$ ；

②若 $B E = 2 \sqrt{10}$ ，求 $O F$ 的长.

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28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (- 3 ， 0) ， B (1 ， 0)$ 两点，与y轴交于点C，直线 $y = - x$ 与该抛物线交于 $E 、 F$ 两点.

(1)、求抛物线的表达式.

(2)、P是直线 $E F$ 下方抛物线上的一个动点，作 $P H ⊥ E F$ 于点H，求 $P H$ 的最大值.

(3)、以点C为圆心，1为半径作圆， $⊙ C$ 上是否存在点D，使得 $△ B C D$ 是以 $C D$ 为直角边的直角三角形？若存在直接写出点D的坐标；若不存在，则说明理由.

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跳高成绩 $(m)$	1.50	1.55	1.60	1.65	1.70	1.75
跳高人数	1	3	2	3	5	1