河南省郑州市金水区2020-2021学年八年级下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 下列图形中，属于中心对称图形的有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）

A、17 B、15 C、13 D、13或17

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3. 若 $m > n$ ，下列不等式不一定成立的是（）

A、 $m + 3 > n + 3$ B、 $﹣ 3 m < ﹣ 3 n$ C、 $\frac{m}{3} > \frac{n}{3}$ D、 $m^{2} > n^{2}$

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4. 不等式组 ${\begin{cases} x - 1 \geq 0 \\ x + 8 > 4 x + 2 \end{cases}$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的（）

A、三条角平分线的交点 B、三边中线的交点 C、三边上高所在直线的交点 D、三边的垂直平分线的交点

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6. 下列命题中，错误的是（）

A、三角形两边之和大于第三边 B、角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C、三角形的一条中线能将三角形面积分成相等的两部分 D、等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

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7. 如图， $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在正方形网格线的交点处，若将 $Δ A C B$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $Δ A C^{'} B^{'}$ ，则 $C^{'}$ 点的坐标为（）

A、 $(1 ， \frac{5}{2})$ B、 $(1 ， \frac{8}{3})$ C、 $(1 ， 1 + \sqrt{2})$ D、 $(1 ， 3 - \sqrt{2})$

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8. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B＝90°，AB＝8，DH＝3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）

A、20 B、24 C、25 D、26

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9. 如图，在四边形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ D = 90^{°}$ ， $A D = 4$ ， $B C = 3$ .分别以点A，C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则CD的长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、4 C、3 D、 $\sqrt{10}$

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10. 如图，在等腰 $△ A B C$ 与等腰 $△ A D E$ 中， $A B = A C$ ， $A D = A E$ ， $∠ B A C = ∠ D A E = α$ ，连接 $B D$ 和 $C E$ 相交于点 $P$ ，交 $A C$ 于点 $M$ ，交 $A D$ 与点 $N$ .则下列结论：① $B D = C E$ ；② $∠ B P E = 180^{\circ} - 2 α$ ；③ $A P$ 平分 $∠ B P E$ ；④若 $α = 60^{\circ}$ ，则 $P E = A P + P D$ .一定正确的是（）

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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二、填空题

11. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB，使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 长为半径作弧，两弧交于点P．若点C的坐标为（ $a ， 2 a - 3$ ），则a的值为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5 cm$ ， $A C = 3 cm$ ，BD平分 $∠ A B C$ ，CD平分 $∠ A C B$ ， $E F // B C$ ，且EF过点D，则 $△ A E F$ 的周长是.

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13. 若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 > 0 \\ x - a < 0 \end{array}$ 无解，则 $a$ 的取值范围是.

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14. 对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当a≥b时，min{a，b}=b；当a＜b时，min{a，b}=a.例如：min={2，﹣1}=﹣1，若关于x的函数y=min{2x﹣1，﹣x+3}，则该函数的最大值为.

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15. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 30^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 旋转 $α (0 < α < 60^{\circ})$ 到 $△ A^{'} B C^{'}$ ，边 $A C$ 和边 $A^{'} C^{'}$ 相交于点 $P$ ，边 $A C$ 和边 $B C^{'}$ 相交于 $Q$ ，当 $△ B P Q$ 为等腰三角形时，则 $α =$ .

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三、解答题

16. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 4 (x + 1) \leq 7 x + 13 \\ x - 4 < \frac{x - 8}{3} \end{array}$ ，并求它的所有整数解的和．

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17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后， $△ A B C$ 的顶点均在格点上，坐标分别为 $A (2 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ， $C (3 ， 1)$ .

(1)、画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出将 $△ A B C$ 绕原点O逆时针旋转90°所得的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标.

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18. 已知在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 在 $A B$ 上， $E$ 在 $A C$ 的延长线上， $D E$ 交 $B C$ 于 $F$ ，且 $D F = E F$ ，求证： $B D = C E$ ．

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19. 如图，直线y＝x+3分别与x轴、y轴交于点A、C ，直线y＝mx+ $\frac{4}{3}$ 分别与x轴、y轴交于点B、D ，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，b）

(1)、不等式x+3≤mx+ $\frac{4}{3}$ 的解集为．

(2)、求直线AC、直线BD与x轴所围成的三角形的面积．

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20. 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N.证明：

(1)、△ABD≌△ACE

(2)、BD⊥CE.

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21. 学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A奖品和2个B奖品共需120元；购买5个A奖品和4个B奖品共需210元.

(1)、求A，B两种奖品的单价；

(2)、学校准备购买A，B两种奖品共30个，且A奖品的数量不少于B奖品数量的 $\frac{1}{3}$ .请设计出最省钱的购买方案，并说明理由.

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22. 阅读材料：
对于两个正数a、b，则 $a + b \geq 2 \sqrt{a b}$ （当且仅当a＝b时取等号）.

当 $a b$ 为定值时， $a + b$ 有最小值；当 $a + b$ 为定值时， $a b$ 有最大值.

例如：已知 $x > 0$ ，若 $y = x + \frac{1}{x}$ ，求 $y$ 的最小值.

解：由 $a + b$ ≥ $2 \sqrt{a b}$ ，得 $y = x + \frac{1}{x}$ ≥ $2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \times \sqrt{1} = 2$ ，当且仅当 $x = \frac{1}{x}$ 即 $x = 1$ 时， $y$ 有最小值，最小值为 $2$ .

根据上面的阅读材料回答下列问题：

(1)、已知 $x > 0$ ，若 $y = 4 x + \frac{9}{x}$ ，则当 $x =$ 时， $y$ 有最小值，最小值为；

(2)、已知 $x > 3$ ，若 $y = x + \frac{9}{x - 3}$ ，则 $x$ 取何值时， $y$ 有最小值，最小值是多少？

(3)、用长为 $100 m$ 篱笆围一个长方形花园，问这个长方形花园的长、宽各为多少时，所围的长方形花园面积最大，最大面积是多少？

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23. 探究：如图1和图2，四边形 $A B C D$ 中，已知 $A B = A D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $C D$ 上， $∠ E A F = 45 °$ .

(1)、①如图1，若 $∠ B$ 、 $∠ A D C$ 都是直角，把 $△ A B E$ 绕点 $A$ 逆时针旋转90°至 $△ A D G$ ，使 $A B$ 与 $A D$ 重合，直接写出线段 $B E$ 、 $D F$ 和 $E F$ 之间的数量关系 ▲ ；
②如图2，若 $∠ B$ 、 $∠ D$ 都不是直角，但满足 $∠ B + ∠ D = 180 °$ ，线段 $B E$ 、 $D F$ 和 $E F$ 之间①中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

(2)、拓展：如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C = 2 \sqrt{2}$ ，点 $D$ 、 $E$ 均在边 $B C$ 上，且 $∠ D A E = 45 °$ ，若 $B D = 1$ ，求 $D E$ 的长.

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