人教版2019选修二第五章一元函数的导数及其应用单元测试卷

试卷更新日期：2021-05-25 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 设曲线f(x)＝ax²在点(2，4a)处的切线与直线4x－y＋4＝0垂直，则a＝（）

A、2 B、－ $\frac{1}{16}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、－1

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2. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2}$ ，则 $f (x)$ 的单调减区间是（）

A、 $(4 ， + \infty)$ B、 $(0 ， 2)$ C、 $(0 ， 4)$ D、 $(- \infty ， 0)$

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3. 已知函数 $f (x)$ 的图象如下所示， $f^{'} (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，根据图象判断下列叙述正确的是（）

A、 $f^{'} (x_{1}) < f^{'} (x_{2})$ B、 $f^{'} (x_{1}) > f^{'} (x_{2})$ C、 $f (x_{1}) < f^{'} (x_{2}) < 0$ D、 $f (x_{1}) > f^{'} (x_{2}) > 0$

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4. 已知 $x = 2$ 是 $f (x) = 2 \ln x + a x^{2} - 3 x$ 的极值点，则 $f (x)$ 在 $[\frac{1}{3} ， 3]$ 上的最大值是（）

A、 $2 \ln 3 - \frac{9}{2}$ B、 $- \frac{5}{2}$ C、 $- 2 \ln 3 - \frac{17}{18}$ D、 $2 \ln 2 - 4$

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5. 已知奇函数 $f (x)$ ，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{x}{e^{x}}$ ，则 $f (x - 1)$ 的图象与函数 $y = 2 \sin π x (- 4 \leq x \leq 6)$ 的图象所有交点的横坐标之和等于（）

A、0 B、9 C、11 D、17

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6. 函数 $y = \frac{x}{\ln x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 设函数 $f (x) = e^{x} + a (x - 1) + b$ 在区间 $[0 ， 1]$ 上总存在零点，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、7 B、e C、 $e^{2}$ D、 $3 e$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且当 $x < 0$ 时，函数 $f (x) = x e^{x} + 2$ ，若关于 $x$ 的函数 $F (x) = {[f (x)]}^{2} + (a - 2) f (x) - 2 a$ 恰有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e} - 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， \frac{1}{e} - 2) \cup (2 - \frac{1}{e} ， 2)$ D、 $(\frac{1}{e} - 2 ， 2 - \frac{1}{e})$

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二、多选题

9. 函数 $f (x) = e^{k x} \cdot \ln x$ （k为常数）的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = e^{\sin x} - e^{\cos x}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的周期为 $2 π$ B、 $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上是减函数 C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是奇函数 D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上有且仅有一个极值点

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11. 函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (2) > f (3)$ B、 $\ln π > \sqrt{\frac{π}{e}}$ C、若 $f (x) = m$ 有两个不相等的实根 $x_{1} 、 x_{2}$ ，则 $x_{1} x_{2} < e^{2}$ D、若 $2^{x} = 5^{y} ， x 、 y$ 均为正数，则 $2 x < 5 y$

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12. 材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 $f (x) = x^{x} (x > 0)$ ，我们可以作变形： $f (x) = x^{x} = e^{\ln x^{x}} = e^{x \ln x} = e^{t}$ $(t = x \ln x)$ ，所以 $f (x)$ 可看作是由函数 $f (t) = e^{t}$ 和 $g (x) = x \ln x$ 复合而成的，即 $f (x) = x^{x} (x > 0)$ 为初等函数.根据以上材料，对于初等函数 $h (x) = x^{\frac{1}{x}} (x > 0)$ 的说法正确的是（）

A、无极小值 B、有极小值 $1$ C、无极大值 D、有极大值 $e^{\frac{1}{e}}$

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三、填空题

13. 已知 $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + b x + a^{2}$ 在 $x = - 1$ 时有极值0，则 $a + b$ 的值为．

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14. 若函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 在区间 $(a - 2 ， a + 1)$ 内存在极大值，则a的取值范围是.

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15. 已知 $a, b \in R$ ，直线 $y = a x - b$ 与函数 $f (x) = x^{2}$ 的图象在 $x = 1$ 处相切，设 $g (x) = e^{x} - b x^{2} + a$ ，若在区间 $[1, 2]$ 上，不等式 $m \leq g (x) \leq m^{2} - 2$ 恒成立，则实数 $m$ 的最大值是.

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16. 定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ ，如果存在函数 $g (x) = a x + b$ （ $a, b$ 为常数），使得 $f (x) \geq g (x)$ 对一切实数 $x$ 都成立，则称 $g (x)$ 为函数 $f (x)$ 的一个承托函数．给出如下命题：
① 函数 $g (x) = - 2$ 是函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \ln x, x > 0 \\ 1 ， x \leq 0 \end{array}$ 的一个承托函数；

② 函数 $g (x) = x - 1$ 是函数 $f (x) = x + \sin x$ 的一个承托函数；

③ 若函数 $g (x) = a x$ 是函数 $f (x) = e^{x}$ 的一个承托函数，则a的取值范围是 $[0, e]$ ；

④ 值域是 $R$ 的函数 $f (x)$ 不存在承托函数．其中，所有正确命题的序号是．

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = e^{x + 1} + a x + a (a \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x \geq 0$ 时， $f (x - 1) + \ln (x + 1) \geq 1$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知 $f (x) = a e^{x} - \frac{e}{6} x^{3} + b x^{2} + c x$ ， $(a ， b ， c \in R)$ ，（ $e$ 为自然对数的底数， $e = 2.71828$ …）.
（Ⅰ）当 $a = 0$ 时，若函数 $f (x)$ 与直线 $y = e x$ 相切于点 $(1 ， e)$ ，求 $b$ ， $c$ 的值；

（Ⅱ）当 $a = \frac{1}{e}$ 时，若对任意的正实数 $b$ ， $f (x)$ 有且只有一个极值点，求负实数 $c$ 的取值范围.

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19. 设 $0 < x < 1$ .

(1)、证明： $1 - \frac{x^{2}}{6} < \frac{\sin x}{x} < 1$ ；

(2)、若 $a x - \frac{x^{3}}{6} < \sin x$ ，求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = (a + \ln x) e^{x} (a \in R)$

(1)、若 $f (x)$ 为定义域内的单调递增函数，求 $a$ 的取值范围；

(2)、当 $a \leq 2$ 时，证明： $f (x) < e^{2 x}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x$ ．

(1)、若 $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、设 $g (x) = f (x) - \frac{a}{2} x^{2}$ ，若 $g (x)$ 有三个不同的零点，求 $a$ 的取值范围．

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22. 已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x} (a \in R)$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $g (x) = a f (x) + x^{2} - 2 x - \frac{a^{2}}{x}$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且不等式 $g (x_{1}) \geq m x_{2}$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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二、多选题

三、填空题

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