北京市海淀区2020-2021学年七年级下学期数学期中试卷

试卷更新日期：2021-05-25 类型：期中考试

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一、单选题

1. 9的算术平方根是（）

A、 81 B、3 C、±3 D、-3

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2. 在平面直角坐标系中，点M（2，3）在（　　）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 下列实数 $\sqrt{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $0.1010010001 \dots$ （相邻两个1之间依次多一个0）， $\frac{π}{2}$ ， $\sqrt[3]{5}$ ， $\sqrt{4}$ 中，无理数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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4. 如图，直线 $a ， b$ 被c所截，则 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 是（）

A、同位角 B、内错角 C、同旁内角 D、邻补角

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5. 下列各数中一定有平方根的是（　　）

A、 $m^{2} - 1$ B、 $- m$ C、 $m + 1$ D、 $m^{2} + 1$

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6. 一把直尺和一个含 $30 °$ ， $60 °$ 角的三角板如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于F，A两点，另一边与三角板的两直角边分别交于D，E两点，且 $∠ C E D =50 °$ ，那么 $∠ B A F$ 的大小为（）

A、 $10 °$ B、 $20 °$ C、 $30 °$ D、 $40 °$

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7. 如图，直线AB ， CD相交于点O ，分别作∠AOD ， ∠BOD的平分线OE ， OF ．将直线CD绕点O旋转，下列数据与∠BOD大小变化无关的是（）

A、∠AOD的度数 B、∠AOC的度数 C、∠EOF的度数 D、∠DOF的度数

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8. 如示意图，小宇利用两个面积为1 dm²的正方形拼成了一个面积为2 dm²的大正方形，并通过测量大正方形的边长感受了 $\sqrt{2}$ dm的大小．为了感知更多无理数的大小，小宇利用类似拼正方形的方法进行了很多尝试，下列做法不能实现的是（）

A、利用两个边长为2dm的正方形感知 $\sqrt{8}$ dm的大小 B、利用四个直角边为3dm的等腰直角三角形感知 $\sqrt{18}$ dm的大小 C、利用一个边长为 $\sqrt{2}$ dm的正方形以及一个直角边为2dm的等腰直角三角形感知 $\sqrt{6}$ dm的大小 D、利用四个直角边分别为1 dm和3 dm的直角三角形以及一个边长为2 dm的正方形感知 $\sqrt{10}$ dm的大小

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二、填空题

9. 如图，要在河岸l上建一个水泵房D，修建引水渠到村庄C处．施工人员的做法是：过点C作 $C D ⊥ l$ 于点D，将水泵房建在了D处．这样修建引水渠 $C D$ 最短，既省人力又省物力，这样做蕴含的数学原理是．

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10. 如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=度．

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11. 如图，在四边形 $A B C D$ 中，点E在 $A D$ 的延长线上，连接 $B D$ ，如果添加一个条件，使 $A D // B C$ ，那么可添加的条件为（写出一个即可）．

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12. 在平面直角坐标系中，A点的坐标为（ $2$ ， $- 1$ ），若线段 $A B$ ∥x轴，且 $A B = 3$ ，则点B的坐标为．

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13. 用一个实数a的值说明命题“ $\sqrt{a^{2}} = a$ ”是假命题，这个a的值可以是．

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14. 为纪念戍边英雄，某班设计了《致敬英雄》主题宣传板报，黑板是一块长为2a米，宽为a米的长方形 $A B C D$ ，版面设计如图所示，将它分割成两块边长均为a米的正方形 $A B F E$ 和正方形 $E F C D$ ，分别以点 $F ， B$ 为圆心，正方形边长为半径画弧．阴影部分用图画展示英雄形象，空白部分用文字宣传英雄事迹．阴影部分的面积为平方米（用含a的代数式表示）．

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15. 为迎接校庆，某学校在东西走向的勤学路上修建了一排边长为1m的小正方形花坛，如图1所示．小欢和小乐来到花坛边欣赏风景，小欢以自己所在的A点为原点，以向东的方向为正方向，以花坛对角线的长度 $\sqrt{2}$ m为单位长度建立数轴，如图2所示．若小乐在小欢的东15 m处，那么在图2的数轴上，小乐所在的点位于两个相邻整数之间，这两个整数分别是．

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16. 在平面直角坐标系中，我们定义，点P沿着水平或竖直方向运动到达点Q的最短路径的长度为P ， Q两点之间的“横纵距离”．如图所示，点A的坐标为（2，3），则A ， O两点之间的“横纵距离”为5

(1)、若点B的坐标为（ $-3 ， -1$ ），则A ， B两点之间的“横纵距离”为；

(2)、已知点C的坐标为（0，2），D ， O两点之间的“横纵距离”为5，D ， C两点之间的“横纵距离”为3，请写出两个满足条件的点D的坐标：，．

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三、解答题

17. 计算： $\sqrt{16} - \sqrt[3]{27} + {(\sqrt{\frac{1}{3}})}^{2} + \sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$ ．

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18. 完成下面的证明：已知：如图， $∠ A E C = ∠ A + ∠ C$ ．求证： $A B$ ∥ $C D$ ．

证明：过点 $E$ 作 $E F$ ∥ $A B$ ．

$∴ ∠ A =$      ▲   （       ）．

$∵ ∠ A E C = ∠ 1 + ∠ 2 ， ∠ A E C = ∠ A + ∠ C$ ，

$∴ ∠ C = ∠ 2$ ．

$∴$     ▲   ∥    ▲   （          ）．

$∴ A B$ ∥ $C D$ （       ）．

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19. 计算： $\sqrt{3} (\sqrt{3} - 1) + | \sqrt{2} - \sqrt{3} |$ ．

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20. 求出下列等式中x的值：

(1)、 $7 x^{2} = 63$ ；

(2)、 $\frac{x^{3}}{2} + 5 = 1$ ．

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21. 已知：如图，直线 $A B$ ， $C D$ 相交于点O， $∠ A O C = 40 °$ ， $O E$ 平分 $∠ B O C$ ，求 $∠ D O E$ 的度数．

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22. 如图，在平面直角坐标系中，三角形 $A B C$ 的三个顶点分别是 $A (- 1 ， 6)$ ， $B (- 4 ， 3)$ ， $C (1 ， 4)$ ．将三角形 $A B C$ 先向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到三角形 $A' B' C'$ ．

(1)、请在图中画出平移后的三角形 $A' B' C'$ ；

(2)、三角形 $A' B' C'$ 的面积是．

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23. 已知：实数a，b满足 $\sqrt{a + 3} + {(b - 4)}^{2} = 0$ ．

(1)、可得 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、当一个正实数x的两个平方根分别为 $m + a$ 和 $b - 2 m$ 时，求x的值．

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24. 已知：如图， $A B$ ∥ $C D$ ， $A D$ 和 $B C$ 交于点O，E为 $O C$ 上一点，F为 $C D$ 上一点，且 $∠ C E F + ∠ B O D = 180 °$ ．求证： $∠ E F C = ∠ A$ ．

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25. 2020年5月1日新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，意味着北京市垃圾分类正式进入法治化、常态化、系统化轨道．条例明确规定，将垃圾分为厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾和可回收物4类．为了帮助同学们养成垃圾分类的好习惯，七年级一班计划以此为主题召开一次班会，需要一部分同学手绘可回收物的标识小卡片（如图）．发给大家的纸张和样图中的纸张一样，都是边长为 $3$ cm的正方形．为了让大家画的标志在纸张中的位置大小尽可能的一致．标志中标注了A ， B ， C三个关键点，请你通过测量告诉大家A ， B ， C三点在纸张中的位置．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A_{0} (0 ， a_{0})$ ， $A_{1} (1 ， a_{1})$ ， $A_{2} (2 ， a_{2})$ ，…， $A_{n} (n ， a_{n})$ ， $B (n ， 0)$ ，其中 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，…， $a_{n}$ ， $n$ 为正整数．顺次连接 $A_{0}$ ， $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，…， $A_{n}$ ，B的折线与x轴、y轴围成的封闭图形记为图形M．小明在求图形M的面积时，过点 $A_{1} (1 ， a_{1})$ ， $A_{2} (2 ， a_{2})$ ，…， $A_{n - 1} (n - 1 ， a_{n - 1})$ 作x轴的垂线，将图形M分成n个四边形，计算这些四边形面积的和，可以求出图形M的面积．

请你参考小明的思路，解决下面的问题．

(1)、当 $n = 2$ 时，
①若 $a_{0} = 1 ， a_{1} = 3 ， a_{2} = 2$ ，如图1，则图形M的面积为；

②用含有 $a_{0}$ ， $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的式子表示图形M的面积为．

(2)、当 $n = 4$ 时，从1，2，3，…，10这10个正整数中任选5个不同的数作为 $a_{0} ， a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ ．
①小明选择了 $a_{0} = 4 ， a_{1} = 5 ， a_{2} = 7 ， a_{3} = 6 ， a_{4} = 3$ ，请在图2中画出此时的图形M；

②在①的条件下，若小聪用剩下的5个数1，2，8，9，10作为 $a_{0} ， a_{1} ， a_{2} ， a_{3} ， a_{4}$ 的取值，使新得到的图形M的面积与小明的图形M的面积相等，请直接写出这五个数的排序（写出一组即可）．

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27. 在平面直角坐标系中，M（a ， b），N（c ， d），对于任意的实数 $k \neq 0$ ，我们称P（ka＋kc ， kb＋kd）为点M和点N的k系和点．例如，已知M（2，3），N（1， $- 2$ ），点M和点N的2系和点为K（6，2）．横、纵坐标都为整数的点叫做整点，已知A（1，2），B（2，0）．

(1)、点A和点B的 $\frac{1}{2}$ 系和点的坐标为（直接写出答案）；

(2)、已知点C（m ， 2），若点B和点C的k系和点为点D ，点D在第一、三象限的角平分线上．
①求m的值；

②若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，直接写出k的值；

(3)、若点E与点A关于x轴对称，点B向右平移一个单位得到点F ，点H为线段BF上的动点，点P为点A和点H的k系和点，点Q为点E和点H的k系和点，k＞0，在点H运动过程中，若四边形AEQP的内部（不包括边界）都至少有10个整点，至多有15个整点，则k的取值范围为．

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28. 已知：直线 $l_{1}$ ∥ $l_{2}$ ，A为直线 $l_{1}$ 上的一个定点，过点A的直线交 $l_{2}$ 于点B ，点C在线段BA的延长线上．D ， E为直线 $l_{2}$ 上的两个动点，点D在点E的左侧，连接AD ， AE ，满足∠AED＝∠DAE ．点M在 $l_{2}$ 上，且在点B的左侧．

(1)、如图1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接写出∠ABM的度数；

(2)、射线AF为∠CAD的角平分线．
① 如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明；

② 当点D与点B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°时，直接写出∠EAF的度数．

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