辽宁省铁岭市部分校2021年中考数学一模试卷

试卷更新日期：2021-05-25 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 桂林是世界著名的风景旅游城市和历史文化名城，地处南岭山系西南部，广西东北部，行政区域总面积27809平方公里．将27809用科学记数法表示应为（）

A、 $0.27809 \times 10^{5}$ B、 $27.809 \times 10^{3}$ C、 $2.7809 \times 10^{3}$ D、 $2.7809 \times 10^{4}$

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2. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 已知M= $\sqrt{2} \times \sqrt{8} + \sqrt{5}$ ，则M的取值范围是（　　）

A、8＜M＜9 B、7＜M＜8 C、6＜M＜7 D、5＜M＜6

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4. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 某次校运会共有13名同学报名参加百米赛跑，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前6名参加决赛，小勇同学在知道自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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6. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，DE∥BC交AC于点E ， AE＝ $\frac{1}{3}$ AC ，若线段BC＝30，那么线段DE的长为（）

A、5 B、10 C、15 D、20

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7. 如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DE∥AC ，若S_△BDE：S_△CDE＝1：3，则S_△DOE：S_△AOC的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{16}$

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8. 如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆O上，把半圆沿弦AC折叠， $\overset{⌢}{A C}$ 恰好经过点O ，则 $\overset{⌢}{B C}$ 与 $\overset{⌢}{A C}$ 的关系是 $($ 　　 $)$

A、 $\overset{⌢}{B C} = \frac{1}{2} \overset{⌢}{A C}$ B、 $\overset{⌢}{B C} = \frac{1}{3} \overset{⌢}{A C}$ C、 $\overset{⌢}{B C} = \overset{⌢}{A C}$ D、不能确定

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9. 如图，将直角三角板 $A B C$ 放在平面直角坐标系中，点 $A ， B$ 的坐标分别为 $(2 ， 1)$ ， $(7 ， 1)$ .将三角板 $A B C$ 沿 $x$ 轴正方向平移，点 $B$ 的对应点 $B^{'}$ 刚好落在反比例函数 $y = \frac{10}{x} (x > 0)$ 的图像上，则点 $C$ 平移的距离 $C C^{'} =$ （）

A、3 B、5 C、7 D、10

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10. 如图，抛物线y＝－x²＋2x＋m＋1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.
①抛物线y＝－x²＋2x＋m＋1与直线y＝m＋2有且只有一个交点；

②若点M（－2，y₁）、点N（ $\frac{1}{2}$ ，y₂）、点P（2，y₃）在该函数图象上，则y₁<y₂<y₃；

③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝－（x＋1）²＋m；

④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为 $\sqrt{34} + \sqrt{2}$ .

其中正确判断有（）

A、①②③④ B、②③④ C、①③④ D、①③

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二、填空题

11. 有两双完全相同的鞋，从中任取两只，恰好成为一双的概率为．

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12. 已知△ABC的内角满足| $\sqrt{3}$ tanA﹣1|＋ $\sqrt{2} \cos B - 1$ ＝0，则∠C＝度．

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13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(a + 4) x^{2} + 2 x + a^{2} - 16 = 0$ 有个根为 $0$ ，则 $a$ 的值为.

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14. 已知二次函数y=x²+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，两条对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O，若 $A B = O B = 4$ ，则 $A D =$ ．

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16. 如图，直线AB交双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA.若 $S_{△ O A C} = \frac{7}{2}$ ，则k的值为.

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17. 如图，PA切⊙O于A，OP交⊙O于B，且PB=1，PA= $\sqrt{3}$ ，则阴影部分的面积：S= ．

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18. 如图，点P在等边三角形ABC的内部，PD⊥BC，PE⊥AC，PF⊥AB，垂足分别为D、E、F，若 $P D + P E + P F = 4 \sqrt{3}$ ，且 $S_{△ A B C} = 16 \sqrt{3}$ ，则 $△ A B C$ 的边长为．

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三、解答题

19. 先化简，再求值： $\frac{x}{x + 2} - \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x + 2} \div \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ ，其中 $x = tan 60^{\circ} - 2$ ．

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20. 某学校为了解在校生的体能素质情况，从全校八年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格）并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：

(1)、本次抽样测试的学生人数是；

(2)、扇形统计图中∠α的度数是，并把条形统计图补充完整；

(3)、该校八年级有学生1500名，如果全部参加这次体育科目测试，那么估计不及格的人数为人；

(4)、测试老师从被测学生中随机抽取一名，所抽学生为B级的概率是多少？

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21. 如图，一次函数y＝ax＋b（a≠0）的图象与反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （k≠0）的图象交于A、B两点，与x轴、y轴分别交于C、D两点，与x轴、y轴分别交于C ， D两点，若CD＝2 $\sqrt{5}$ ，tan∠ACO＝ $\frac{1}{2}$ ，点A的坐标为（m ， 3）．

(1)、求反比例函数与一次函数的解析式；

(2)、连接OB ，点P在直线AC上，且S_△AOP＝2S_△BOC ，求点P的坐标．

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22. 如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，作射线BF ，使得BA平分∠CBF ，过点A作AD⊥BF于点D ．

(1)、求证：DA为⊙O的切线；

(2)、若BD＝1，tan∠ABD＝2，求⊙O的半径．

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23. 有一种落地晾衣架如图 $1$ 所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角 $α$ 的度数来调整晾衣杆的高度，图 $2$ 是晾衣架的侧面的平面示意图， $A B$ 和 $C D$ 分别是两根长度不等的支撑杆，夹角 $∠ B O D = α$ ， $A O = 70 cm$ ， $B O = D O = 80 cm$ ， $C O = 40 cm$ ．

(1)、若 $α = 56 °$ ，求A点离地面的高度 $A E$ ；（参考值： $\sin 62 ° = \cos 28 ° \approx 0.88$ ， $\sin 28 ° = \cos 62 ° \approx 0.47$ ， $\tan 62 ° \approx 1.88$ ， $\tan 28 ° \approx 0.53$ ．）

(2)、调节 $α$ 的大小，使A离地面高度 $A E = 125 cm$ 时，求此时C点离地面的高度 $C F$ ．

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24. 网络销售已经成为一种热门的销售方式为了减少农产品的库存，某市长亲自在某网络平台上进行直播销售板栗．为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出2000元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为6元/kg ，每日销售量y（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：y＝﹣100x+5000．经销售发现，销售单价不低于成本价格且不高于30元/kg ．当每日销售量不低于4000kg时，每千克成本将降低1元．设板栗公司销售该板栗的日获利为W（元）．

(1)、请求出日获利W与销售单价x之间的函数关系式；

(2)、当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？

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25. 问题背景

(1)、如图（1）， $△ A B D$ ， $△ A E C$ 都是等边三角形， $△ A C D$ 可以由 $△ A E B$ 通过旋转变换得到，请写出旋转中心、旋转方向及旋转角的大小．

(2)、尝试应用
如图（2）．在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，分别以AC ， AB为边，作等边 $△ A C D$ 和等边 $△ A B E$ ，连接ED ，并延长交BC于点F ，连接BD ．若 $B D ⊥ B C$ ，求 $\frac{D F}{D E}$ 的值．

(3)、拓展创新
如图（3）．在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 2$ ，将线段AC绕点A顺时针旋转 $90 °$ 得到线段AP ，连接PB ，直接写出PB的最大值．

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26. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋6与x轴交于点A（6，0），B（﹣1，0），与y轴交于点C ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若点M为该抛物线对称轴上一点，当CM＋BM最小时，求点M的坐标．

(3)、抛物线上是否存在点P ，使△ACP为直角三角形？若存在，有几个？写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

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