人教A版2019 选修二 5.2导数的计算同步练习

试卷更新日期：2021-05-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若函数 $f (x) = \ln x$ ，则 $f^{'} (1) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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2. 已知 $f (x) = e^{x} + 2 x f' (1)$ ，则 $f' (0)$ 等于（）

A、 $1 + 2 e$ B、 $1 - 2 e$ C、 $- 2 e$ D、 $2 e$

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3. 函数y＝(x²－1)ⁿ的复合过程正确的是（）

A、y＝uⁿ ， u＝x²－1 B、y＝(u－1)ⁿ ， u＝x² C、y＝tⁿ ， t＝(x²－1)ⁿ D、y＝(t－1)ⁿ ， t＝x²－1

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4. 下列求导结果正确的是（）

A、 ${(\cos \frac{π}{6})}^{'} = - \sin \frac{π}{6}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = x 3^{x - 1}$ C、 ${(\log_{2} x)}^{'} = \frac{\log_{2} e}{x}$ D、 ${(\sin 2 x)}^{'} = \cos 2 x$

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5. 设函数f(x)＝ $a x^{3} + 3 x^{2} + 2$ ，若f′(－1)＝4，则a的值为（）

A、 $\frac{19}{3}$ B、 $\frac{16}{3}$ C、 $\frac{13}{3}$ D、 $\frac{10}{3}$

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6. 设 $f (x) = \frac{\ln x}{e^{x}}$ ，则 $f' (1) =$ （）

A、0 B、1 C、 $\frac{1}{e}$ D、 $e$

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7. 下列求导数运算正确的是（）

A、 ${(x + \frac{1}{x})}^{'} = 1 + \frac{1}{x^{2}}$ B、 ${(3^{x})}^{'} = 3^{x} \log_{3} x$ C、 ${(\log_{2} x)}^{’} = \frac{1}{x \ln 2}$ D、 ${(x^{2} \cos x)}^{'} = - 2 x \sin x$

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8. 已知 $f (x) = \ln | x |$ ，则下列命题中，正确的命题是（）

A、当 $x > 0$ ， $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ，当 $x < 0$ ， $f^{'} (x) = - \frac{1}{x}$ B、当 $x > 0$ ， $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ ，当 $x < 0$ 时， $f^{'} (x)$ 无意义 C、当 $x \neq 0$ 时，都有 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ D、因为 $x = 0$ 时， $f (x)$ 无意义，所以对 $y = \ln | x |$ 不能求导.

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二、多选题

9. 给出定义：若函数 $f (x)$ 在 $D$ 上可导，即 $f^{'} (x)$ 存在，且导函数 $f^{'} (x)$ 在 $D$ 上也可导，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上存在二阶导函数，记 $f^{″} (x) = {(f^{'} (x))}^{'}$ ，若 $f^{″} (x) < 0$ 在 $D$ 上恒成立，则称 $f (x)$ 在 $D$ 上为凸函数．以下四个函数在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 上不是凸函数的是（）

A、 $f (x) = \sin x - \cos x$ B、 $f (x) = \ln x - 2 x$ C、 $f (x) = - x^{3} + 2 x - 1$ D、 $f (x) = x e^{x}$

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10. 已知 $f (x) = x (x - 1) (x - 2) \cdot \cdot \cdot (x - 20)$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f^{'} (0) = 20!$ B、 $f^{'} (1) = 19!$ C、 $f^{'} (19) = - 19!$ D、 $f^{'} (20) = - 20!$

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11. 以下函数求导正确的是（）

A、若 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{4 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ B、若 $f (x) = e^{2 x}$ ，则 $f^{'} (x) = e^{2 x}$ C、若 $f (x) = \sqrt{2 x - 1}$ ，则 $f^{'} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$ D、若 $f (x) = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则 $f^{'} (x) = - \sin (2 x - \frac{π}{3})$

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12. 若函数 $y = f (x)$ 的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称 $y = f (x)$ 具有T性质，下列函数中具有T性质的是（）

A、 $y = \cos x$ B、 $y = \ln x$ C、 $y = e^{x}$ D、 $y = x^{2}$

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三、填空题

13. 已知 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x f' (2016) + 2016 \ln x$ ，则 $f' (2016) =$ ．

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14. 已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x₀ ， y₀)，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值是.

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15. $f (x) = x (2019 + \ln x)$ ，若 $f^{'} (x_{0}) = 2020$ ，则 $x_{0} =$ ．

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16. 已知函数f(x)＝axln x＋b(a，b∈R)，若f(x)的图象在x＝1处的切线方程为2x－y＝0，则a＋b＝.

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四、解答题

17. 求下列函数的导函数

(1)、 $y = e^{x} \cos x$ ；

(2)、 $y = \frac{1 + x}{x} + \ln x$ ．

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18.

(1)、已知 $f (x) = x^{2} + 2$ ，请用导数的定义证明： $f^{'} (x) = 2 x$ ；

(2)、用公式法求下列函数的导数：① $y = \ln x + \cos x$ ；② $y = \frac{\sin 2 x}{e^{x}}$ .

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19. 设函数 $f (x) = a e^{x} \ln x + \frac{b e^{x - 1}}{x}$ ．

(1)、求导函数 $f^{'} (x)$ ；

(2)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = e (x - 1) + 2$ ，求a，b的值．

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20. 若锐角 $△ B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，若 $f (x) = \frac{x^{3}}{3} - (\sqrt{3} \sin C + \cos C) x^{2} + 3 x$ 的图像在点 $C (c ， f (c))$ 处的切线与直线 $y = x$ 垂直，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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21. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，函数 $f (x) = (x - a) (x - b) (x - c)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ．

(1)、若 $b = c$ ，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(b ， f (b))$ 处的切线方程；

(2)、求 $\frac{1}{f^{'} (a)} + \frac{1}{f^{'} (b)} + \frac{1}{f^{'} (c)}$ 的值．

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22.

(1)、函数 $f (x) = (1 + \sin x) x$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，求 $f^{'} (\frac{π}{2})$ ；

(2)、设 $l$ 是函数 $y = \frac{1}{x}$ 图象的一条切线，证明： $l$ 与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关．

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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