人教A版2019 选修二 5.1 导数的定义及几何意义同步练习

试卷更新日期：2021-05-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 函数f(x)在x＝x₀处的导数可表示为（）

A、f′(x₀)＝ $\lim_{△ x \to 0} \frac{f (x_{0} + △ x) - f (x_{0})}{△ x}$ B、f′(x₀)＝ $\lim_{△ x \to 0} [f (x_{0} + △ x) - f (x_{0})]$ C、f′(x₀)＝f(x₀＋Δx)－f(x₀) D、f′(x₀)＝ $\frac{f (x_{0} + △ x) - f (x_{0})}{△ x}$

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2. 函数 $y = f (x)$ 的图像在点 $P (5 ， f (5))$ 处的切线方程是 $y = - x + 8$ ，则 $f (5) + f' (5) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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3. 已知曲线 $f (x) = \frac{x^{2} + a}{x + 1}$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处切线的斜率为1，则实数 $a$ 的值为（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $- \frac{3}{4}$ D、-1

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4. 已知曲线 $y = \frac{x^{2}}{4} - 3 \ln x$ 的一条切线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则切点的横坐标为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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5. 函数 $f (x) = e^{x} \sin x$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、1 D、 $\frac{3}{2}$

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6. 设曲线 $y = \frac{1}{n + 1} x^{n} (n \in N^{*})$ 在 $x = 1$ 处的切线斜率为 $a_{n}$ ，则 $\log_{2021} a_{1} + \log_{2021} a_{2} + \log_{2021} a_{3} + \dots + \log_{2021} a_{2020}$ 的值为（）

A、 $- \log_{2021} 2020$ B、-1 C、 $\log_{2021} 2020 - 1$ D、1

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7. 汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段 $[t_{0} ， t_{1}] ， [t_{1} ， t_{2}] ， [t_{2} ， t_{3}]$ 上的平均速度分别为 $v_{1} ， v_{2} ， v_{3}$ ，则三者的大小关系为（）

A、 $v_{2} = v_{3} < v_{1}$ B、 $v_{1} < v_{2} = v_{3}$ C、 $v_{1} < v_{2} < v_{3}$ D、 $v_{2} < v_{3} < v_{1}$

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8. 曲线 $f (x) = 2 \ln x$ 在 $x = t$ 处的切线 $l$ 过原点，则 $l$ 的方程是（）

A、 $2 x - e y = 0$ B、 $2 x + e y = 0$ C、 $e x - 2 y = 0$ D、 $e x + 2 y = 0$

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9. 人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法—用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程f（x）=0的根就是函数f（x）的零点r，取初始值x₀ ， $f (x)$ 在 $x_{0}$ 处的切线与x轴的交点为x₁ ， f（x）在x₁处的切线与x轴的交点为x₂ ，一直继续下去，得到 $x_{0} ， x_{1} ， x_{2} \dots ， x_{n}$ ，它们越来越接近r．若 $f (x) = x^{2} - 2 (x > 0) ， x_{0} = 2$ ，则用牛顿法得到的r的近似值x₂约为（）

A、1.438 B、1.417 C、1.416 D、1.375

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10. 函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，下列数值排序正确是（）

A、 $0 < f^{'} (2) < f^{'} (3) < f (3) - f (2)$ B、 $0 < f^{'} (3) < f (3) - f (2) < f^{'} (2)$ C、 $0 < f^{'} (3) < f^{'} (2) < f (3) - f (2)$ D、 $0 < f (3) - f (2) < f^{'} (2) < f^{'} (3)$

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11. 已知点P在曲线 $y = \frac{4}{e^{x} + 1}$ 上， $α$ 为曲线在点P处的切线的倾斜角，则 $α$ 的取值范围是( )

A、 [0， $\frac{π}{4}$ ) B、 C、 D、 $[\frac{3 π}{4}, π)$

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12. 2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面 $1500 m$ 处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 $1500 m/s$ 降为零.14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（）

A、 $v = \frac{25}{14} m / s ， a = \frac{25}{14} m / s^{2}$ B、 $\begin{array}{l} v = - \frac{25}{14} m/s ， a = \frac{25}{14} {m/s}^{2} \end{array}$ C、 $v = \frac{25}{14} m / s ， a = - \frac{25}{14} m / s^{2}$ D、 $v = - \frac{25}{14} m / s ， a = - \frac{25}{14} m / s^{2}$

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二、填空题

13. 设 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2 - Δ x)}{Δ x} = - 2$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(2 ， f (2))$ 处的切线的倾斜角是．

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14. 对于三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，定义：设 $f'' (x)$ 是函数 $y = f (x)$ 的导数 $y = f' (x)$ 的导数，若方程 $f'' (x) = 0$ 有实数解 $x_{0}$ ，则称点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 为函数 $y = f (x)$ 的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数 $f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 3 x - \frac{1}{4}$ ，计算 $f (\frac{1}{2020}) + f (\frac{2}{2020}) + f (\frac{3}{2020}) + \cdot \cdot \cdot + f (\frac{2019}{2020}) =$ .

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15. 若直线 $y = k x + b$ 是曲线 $y = \ln x + 2$ 的切线，也是曲线 $y = \ln (x + 1)$ 的切线，则 $b =$ ．

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16. 已知函数 $y = f (x)$ 的图像在点 $M (1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $y = 2 - \frac{1}{2} x$ ，则 $f (1) + f^{'} (1) =$ .

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三、解答题

17. 设 $f (x)$ 是二次函数，其图象过点 $(0 ， 1)$ ，且在点 $(- 2 ， f (- 2))$ 处的切线为 $2 x + y + 3 = 0$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的表达式；

(2)、求 $f (x)$ 的图象与两坐标轴所围成图形的面积．

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18. 已知曲线 y = x³+ x－2 在点 P₀处的切线 $l_{1}$ 平行于直线4x－y－1=0，且点 P₀在第三象限,

(1)、求P₀的坐标;

(2)、若直线 $l ⊥ l_{1}$ , 且 l 也过切点P₀,求直线l的方程.

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19. 已知曲线 $f (x) = x^{3} + a x + b$ 在点 $P (2, - 6)$ 处的切线方程是 $13 x - y - 32 = 0$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、如果曲线 $y = f (x)$ 的某一切线与直线 $l$ ： $y = - \frac{1}{4} x + 3$ 垂直，求切点坐标与切线的方程.

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20. 已知函数f(x)＝ $\frac{1}{3}$ x³－2x²＋3x(x∈R)的图象为曲线C.

(1)、求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；

(2)、若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．

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