人教A版2019 选修二 4.4 数学归纳法

试卷更新日期：2021-05-24 类型：同步测试

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一、单选题

1. 观察下列式子: $1 + \frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ， $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$ ，…，则可归纳出 $1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ 小于（）

A、 $\frac{n}{n + 1}$ B、 $\frac{2 n - 1}{n + 1}$ C、 $\frac{2 n + 1}{n + 1}$ D、 $\frac{2 n}{n + 1}$

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2. 用数学归纳法证明等式 $1 + 2 + 3 + \dots + (2 n + 1) = (n + 1) (2 n + 1)$ 时，从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 等式左边需增添的项是（）

A、 $2 k + 2$ B、 $[2 (k + 1) + 1]$ C、 $[(2 k + 2) + (2 k + 3)]$ D、 $[(k + 1) + 1] [2 (k + 1) + 1]$

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3. 用数学归纳法证明“ $5^{n} - 2^{n} (n \in N^{*})$ 能被 $3$ 整除”的过程中， $n = k + 1$ 时，为了使用假设，应将 $5^{k + 1} - 2^{k + 1}$ 变形为（）

A、 $5 (5^{k} - 2^{k}) + 3 \times 2^{k}$ B、 $(5^{k} - 2^{k}) + 4 \times 5^{k} - 2^{k}$ C、 $(5 - 2) (5^{k} - 2^{k})$ D、 $2 (5^{k} - 2^{k}) - 3 \times 5^{k}$

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4. 对于不等式 $\sqrt{n^{2} + n} < n + 1 (n \in N^{*})$ ，某同学用数学归纳法证明的过程如下：
（1）当 $n = 1$ 时， $\sqrt{1^{2} + 1} < 1 + 1$ ，不等式成立.（2）假设当 $n = k (k \in N^{*})$ 时，不等式 $\sqrt{k^{2} + k} < k + 1$ 成立，当 $n = k + 1$ 时 $\sqrt{{(k + 1)}^{2} + k + 1} = \sqrt{k^{2} + 3 k + 2} < \sqrt{(k^{2} + 3 k + 2) + (k + 2)} = \sqrt{{(k + 2)}^{2}} = (k + 1) + 1$ .
$∴$ 当 $n = k + 1$ 时，不等式成立，则上述证法（）

A、过程全部正确 B、 $n = 1$ 验得不正确 C、归纳假设不正确 D、从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 的推理不正确

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5. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 3 + 4 + \dots + (2 n - 1) + 2 n = 2 n^{2} + n (n \in N^{*})$ ，当 $n = k + 1 (k \in N^{*})$ 时，等式左边应在 $n = k$ 时的基础上加的项是（）

A、 $2 k + 1$ B、 $2 k + 2$ C、 $(2 k + 1) + (2 k + 2)$ D、1

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6. 用数学归纳法证明： $\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n} > \frac{13}{24}$ ( $n \geq 2, n \in N^{*}$ )的过程中，从“ $k$ 到 $k + 1$ ”左端需增加的代数式为（）

A、 $\frac{1}{2 k + 1}$ B、 $\frac{1}{2 k + 2}$ C、 $\frac{1}{2 k + 1} + \frac{1}{2 k + 2}$ D、 $\frac{1}{2 k + 1} - \frac{1}{2 k + 2}$

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7. 用数学归纳法证明等式 $1 + a + a^{2} + \dots + a^{n + 1} = \frac{1 - a^{n + 2}}{1 - a} (a \neq 1, n \in N^{*})$ 时，当 $n = 1$ 时，左边等于（）

A、1 B、 $1 + a$ C、 $1 + a + a^{2}$ D、 $a^{2}$

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8. 已知不等式1+ $\frac{1}{2^{2}} < \frac{3}{2}$ ，1+ $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} < \frac{5}{3}$ ，1+ $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} < \frac{7}{4}$ ，……均成立，照此规律，第五个不等式应为1+ $\frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}}$ <（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{11}{5}$ C、 $\frac{11}{6}$ D、 $\frac{13}{6}$

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9. 用数学归纳法证明 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{2^{n} - 1} < n (n \in N_{+}, n > 1)$ 时，第一步应验证不等式（）

A、 $1 + \frac{1}{2} < 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 3$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} < 2$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} < 3$

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10. 用数学归纳法证明：“ $(n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = 2^{n} \times 1 \times 3 \times 5 \times \dots \times (2 n - 1) (n \in N^{*})$ ”时，从 $n = k$ 到 $n = k + 1$ ，等式的左边需要增乘的代数式是（）

A、 $2 k + 1$ B、 $\frac{2 k + 1}{k + 1}$ C、 $\frac{2 k + 3}{k + 1}$ D、 $2 (2 k + 1)$

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11. 用数学归纳法证明等式， $1 + 2 + 3 + ... + 2 n = n (2 n + 1)$ 时，由 $n = k$ 到 $n = k + 1$ 时，等式左边应添加的项是（）

A、 $2 k + 1$ B、 $2 k + 2$ C、 $(2 k + 1) + (2 k + 2)$ D、 $(k + 1) + (k + 2) + ... + 2 k$

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12. 用数学归纳法证明： $(n + 1) (n + 2) \dots (n + n) = 2^{n} \times 1 \times 3 \times \dots \times (2 n - 1) (n \in N^{*})$ 时，从“ $n = k$ 到 $n = k + 1$ ”等式左边的变化结果是（）

A、增乘一个因式 $(2 k + 1)$ B、增乘两个因式 $(2 k + 1)$ 和 $(2 k + 2)$ C、增乘一个因式 $2 (2 k + 1)$ D、增乘 $(2 k + 1)$ 同时除以 $(k + 1)$

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二、填空题

13. 观察图中5个图形的相应小圆圈的个数的变化规律，猜想第n个图中有小圆圈.

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14. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{5 n - 1} (n \in N^{*})$ 能被 $31$ 整除时，从 $k$ 到 $k + 1$ 添加的项数共有项（填多少项即可）．

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15. 若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{2}{3}$ ， $a_{n + 1} - a_{n} = \sqrt{\frac{2}{3} (a_{n + 1} + a_{n})} (n \in N^{*})$ ，则 $a_{n} =$ ．

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16. 已知 $f (n) = \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \frac{1}{n + 3} + \dots + \frac{1}{2 n}$ ，则 $f (k + 1) = f (k) +$ .

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三、解答题

17. 用数学归纳法证明： $1 + 2 + 3 + \dots + (n + 3) = \frac{(n + 3) (n + 4)}{2} (n \in N^{*})$

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18. 观察下列等式：
$1 = 1$

$2 + 3 + 4 = 9$

$3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25$

$4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 49$

．．．．．．

按照以上式子的规律：

(1)、写出第5个等式，并猜想第 $n (n \in N^{*})$ 个等式；

(2)、用数学归纳法证明上述所猜想的第 $n (n \in N^{*})$ 个等式成立．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = \frac{a_{n}}{2} + \frac{1}{2 a_{n}} - 1$ ，且 $a_{n} > 0$ ．

(1)、求 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ ；

(2)、猜想 ${a_{n}}$ 的通项公式，并用数学归纳法证明．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，其中 ${a_{n}}$ 为等差数列，且满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{2} = 3$ ， $a_{n} b_{n + 1} = a_{n + 1} b_{n} + \frac{n (n + 1)}{2^{n}}$ ， $n \in Ν^{*}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $c_{n} = \frac{a_{n} - 1}{(2 a_{n + 1} - b_{n + 1}) (2 a_{n} - b_{n}) 2^{n}}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \dots + c_{n} < \frac{2^{n}}{n} - 1$ ．

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21. 设数列{a_n}满足a₁=3， $a_{n}_{+ 1} = 3 a_{n} - 4 n$ ．

(1)、计算a₂ ， a₃ ，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；

(2)、求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n ．

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22. $n^{2} (n \geq 5)$ 个正数排成 $n$ 行 $n$ 列方阵，其中每一行从左至右成等差数列，每一列从上至下都是公比为同一个实数 $q$ 的等比数列.
$(\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdot \cdot \cdot & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdot \cdot \cdot & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdot \cdot \cdot & a_{3 n} \\ \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot & \cdot \cdot \cdot \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & \cdot \cdot \cdot & a_{n n} \end{matrix})$

已知 $a_{12} = 1$ ， $a_{14} = 2$ ， $a_{55} = \frac{5}{32}$ .

(1)、设 $b_{n} = a_{1 n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $S_{n} = a_{11} + a_{21} + a_{31} + \cdot \cdot \cdot + a_{n 1}$ ，求证： $S_{n} < 1$ ( $n \in N^{*}$ )；

(3)、设 $T_{n} = a_{11} + a_{22} + a_{33} + \cdot \cdot \cdot + a_{n n}$ ，请用数学归纳法证明： $T_{n} = 2 - \frac{n + 2}{2^{n}} (n \in N^{*})$ .

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