人教版2019选修二第四章数列单元测试

试卷更新日期：2021-05-24 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 用数学归纳法证明 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + \dots + 2^{n + 1} = 2^{n + 2} - 1 (n \in N^{*})$ ，在验证 $n = 1$ 时，左边的所得的项是（）

A、1 B、 $1 + 2$ C、 $1 + 2 + 2^{2}$ D、 $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3}$

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2. ${a_{n}}$ 为等比数列，若 $a_{1}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ 成等差数列，则 $\frac{a_{3} + a_{5}}{a_{1} + a_{3}} =$ （）

A、1 B、2 C、4 D、8

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3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ；等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $b_{4} = 2 a_{4} = 8$ ，则 $S_{3} + T_{5} =$ （）

A、13 B、25 C、37 D、41

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4. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{n} + a_{n} = 1$ .若 $S_{m} = \frac{255}{256}$ ，则 $m =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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5. 记 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ，且 $a_{n + 2} - a_{n} = 1 + {(- 1)}^{n + 1}$ ，则 $S_{100}$ 的值为（）

A、5050 B、2600 C、2550 D、2450

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = n^{2}$ ，记数列 ${\frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．则使得 $T_{n} < \frac{20}{41}$ 成立的 $n$ 的最大值为（）

A、17 B、18 C、19 D、20

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7. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中，有 $a_{2} a_{10} = 25$ ，数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{5} = a_{6}$ ，则 $S_{9} =$ （）

A、15 B、30 C、45 D、90

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8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题．现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列 ${a_{n}}$ ，则此数列所有项中，中间项的值为（）

A、992 B、1022 C、1007 D、1037

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二、多选题

9. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，公差 $d \neq 0$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{4} a_{6} > a_{1} a_{9}$ B、 $S_{1}_{3} > 0$ ， $S_{1}_{4} < 0$ ，则 $| a_{7} | > | a_{8} |$ C、若 $S_{9} = S_{1}_{5}$ ，则 $S_{n}$ 中的最大值是 $S_{1}_{2}$ D、若 $S_{n} = n^{2} - n + a$ ，则 $a = 0$

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10. 已知单调递增的等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{101} = 0$ ，则下列各式一定成立的有（）

A、 $a_{1} + a_{101} > 0$ B、 $a_{2} + a_{100} = 0$ C、 $a_{3} + a_{100} \leq 0$ D、 $a_{51} = 0$

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11. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = 1$ ， $\frac{1}{a_{n + 1} \cdot a_{n}} = 2^{n}$ ，则（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、 $a_{n + 1} \leq a_{n}$ 恒成立 C、 $S_{n} < 3$ 恒成立 D、 $S_{n} \leq 2$ 恒成立

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12. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{1} = a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + 2 a_{n - 2} (n \geq 3)$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${a_{n + 1} + a_{n}}$ 为等比数列 B、数列 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 为等比数列 C、 $a_{n} = \frac{2^{n + 1} + {(- 1)}^{n}}{3}$ D、 $S_{20} = \frac{2}{3} (4^{10} - 1)$

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三、填空题

13. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q = 2$ ，前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{3} = \frac{1}{512}$ ，则 $T_{9} =$ ．

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14. 写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列 $a_{n} =$ ．

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15. 某校的“希望工程”募捐小组在假期中进行了一次募捐活动.他们第一天得到15元，从第二天起，每一天收到的捐款数都比前一天多10元.要募捐到不少于1100元，这次募捐活动至少需要天.(结果取整)

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16. 在流行病学中，基本传染数 $R_{0}$ 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数． $R_{0}$ 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定．假设某种传染病的基本传染数 $R_{0} = 3$ （注：对于 $R_{0} > 1$ 的传染病，要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径），那么由1个初始感染者经过六轮传染被感染（不含初始感染者）的总人数为（注：初始感染者传染 $R_{0}$ 个人为第一轮传染，这 $R_{0}$ 个人每人再传染 $R_{0}$ 个人为第二轮传染……）

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四、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n}}{2 + a_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、分别求出 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ，并根据上述结果猜想这个数列的通项公式；

(2)、请用数学归纳法证明(1)中的猜想.

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 公差为d，等比数列 ${b_{n}}$ 公比为q，已知 $d = q, a_{1} + 1 = b_{1}$ ， $a_{2} + 1 = b_{2}, a_{4} + 1 = b_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ，且满足___________.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{n} + 2^{n - 1}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .
从① $a_{n + 1} = 2 a_{n} (n \in N^{*})$ ；② $a_{n + 1} - a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ ；③ $a_{n + 1} + a_{n} = 2 (n \in N^{*})$ 这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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20. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3 n} = 3 a_{n} - 2$ ，且 $S_{5} - S_{3} = 4 a_{2}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${\frac{1}{S_{n}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < \frac{3}{4}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 - a_{n} - {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ （ $n \in N^{*}$ ），数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{n} a_{n}$ ．

(1)、求证：数列 ${b_{n}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${S_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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22. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ 且 $a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{2}{a_{n} - 1} + 1$ ，若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{b_{n + 1} \sqrt{b_{n}}}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求证： $S_{n} < \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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二、多选题

三、填空题

四、解答题

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