山东省烟台市2019—2020学年高一下学期数学期末学业水平诊断试卷

试卷更新日期：2021-05-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数z满足 $(1 - i) z = i$ （i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面向上”，设事件B=“第二枚硬币正面向上”，则（）

A、事件A与B互为对立事件 B、件A与B为互斥事件 C、事件A与事件B相等 D、事件A与B相互独立

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3. 为了解疫情防控延迟开学期间全区中小学线上教学的主要开展形式，某课题组面向各学校开展了一次随机调查，并绘制得到如下统计图，则采用“直播＋录播”方式进行线上教学的学校占比约为（）

A、 $22.5 %$ B、 $27.5 %$ C、 $32.5 %$ D、 $37.5 %$

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4. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若其面积为 $\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{4 \sqrt{3}}$ ，则 $C =$ （）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 在△ $A B C$ 中， $A D$ 为 $B C$ 边上的中线，E为 $A D$ 的中点，则 $\overset{⇀}{E B} =$ （）

A、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ B、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} - \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$ C、 $\frac{3}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{1}{4} \overset{⇀}{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \overset{⇀}{A B} + \frac{3}{4} \overset{⇀}{A C}$

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6. 某市从2017年秋季入学的高一学生起实施新高考改革，学生需要从物理、化学、生物、政治、历史、地理六门课中任选3门作为等级考科目.已知该市高中2017级全体学生中， $81 %$ 选考物理或历史， $39 %$ 选考物理， $51 %$ 选考历史，则该市既选考物理又选考历史的学生数占全市学生总数的比例为（）

A、 $9 %$ B、 $19 %$ C、 $59 %$ D、 $69 %$

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7. 已知三条不重合的直线 $m$ ， $n$ ， $l$ ，三个不重合的平面 $α$ ， $β$ ， $γ$ ，则（）

A、若 $m // n$ ， $n \subset α$ ，则 $m // α$ B、若 $l ⊥ α$ ， $m \subset β$ ， $l ⊥ m$ ，则 $α // β$ C、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β ＝ l$ ，则 $l ⊥ γ$ D、若 $m \subset α$ ， $n \subset α$ ， $m // β$ ， $n // β$ ，则 $α // β$

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8. 人的眼皮单双是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作B，隐性基因记作 $b$ ：成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是双眼皮（也就是说，“双眼皮”的充要条件是“基因对是 $B B$ ， $b B$ 或 $B b$ ”）.人的卷舌与平舌（指是否能左右卷起来）也是由一对基因对决定的.分别用D， $d$ 表示显性基因、隐性基因，基因对中只要出现了显性基因D，就一定是卷舌的.生物学上已经证明：控制不同性状的基因邀传时互不干扰.若有一对夫妻，两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是 $B d D d$ ，不考虑基因突变，他们的孩子是单眼皮且卷舌的概率为（）

A、 $\frac{1}{16}$ B、 $\frac{3}{16}$ C、 $\frac{7}{16}$ D、 $\frac{9}{16}$

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二、多选题

9. 下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（）

A、若复数 $z \in R$ ，则 $\bar{z} \in R$ B、若复数 $z$ 满足 $z^{2} \in R$ ，则 $z \in R$ C、若复数 $z$ 满足 $\frac{1}{z} \in R$ ，则 $z \in R$ D、若复数 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 满足 $z_{1} z_{2} \in R$ ，则 $z_{1} = \bar{z_{2}}$

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10. 给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）

A、平均数为3 B、标准差为 $\frac{8}{5}$ C、众数为2和3 D、第85百分位数为4.5

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11. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 为线段 $B_{1} C$ 上一动点，则（）

A、直线 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ B、异面直线 $B_{1} C$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角为 $45 °$ C、三棱锥 $P - A_{1} D C_{1}$ 的体积为定值 D、平面 $A_{1} C_{1} D$ 与底面 $A B C D$ 的交线平行于 $A_{1} C_{1}$

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12. 已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件 $A =$ “抽取的两个小球标号之和大于5”，事件 $B =$ “抽取的两个小球标号之积大于8”，则（）

A、事件A发生的概率为 $\frac{1}{2}$ B、事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{11}{20}$ C、事件 $A \cap B$ 发生的概率为 $\frac{2}{5}$ D、从甲罐中抽到标号为2的小球的概率为 $\frac{1}{5}$

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三、填空题

13. 若向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，且 $(\vec{a} - λ \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $λ$ 的值为

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14. 某工厂有 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个车间， $A$ 车间有600人， $B$ 车间有500人.若通过比例分配的分层随机抽样方法得到一个样本量为30的样本，其中 $B$ 车间10人，则样本中 $C$ 车间的人数为

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15. 已知某运动员每次投篮命中的概率为0.6，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：在R软件的控制平台，输入“sample（0：999，50，replace＝F）”，按回车键，得到0~999范围内的50个不重复的整数随机数，指定0，1，2，3，4，5表示命中，6，7，8，9表示未命中，再以每个随机整数（不足三位的整数，其百位或十位用0补齐）为一组，代表三次投篮的结果，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

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16. 已知三棱锥 $P - A B C$ 内接于半径为5的球， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 7$ ， $B C = \sqrt{15}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为

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四、解答题

17. 已知点 $A (m, 2)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (2, 4)$ .

(1)、若 $| \vec{C A} + \vec{C B} |$ 最小，求实数 $m$ 的值：

(2)、若 $\vec{C A}$ 与 $\vec{C B}$ 夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，求实数 $m$ 的值.

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18. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c \cos A + a \cos C = 3 a$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值：

(2)、若 $a = 1$ ， $c = \sqrt{6}$ ，求 $△ A B C$ 外接圆的面积.

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19. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{3}{4}$ ；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ .甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.

(1)、从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？

(2)、若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.

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20. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $D$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $A B$ ， $C P$ ， $A C$ 的中点.

(1)、求证 $P A //$ 平面 $D E F$ ；

(2)、若面 $P A C ⊥$ 底而 $A B C$ ， $B C ⊥ A C$ ， $△ A C P$ 为等边三角形，求二面角 $E - F D - B$ 的大小.

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21. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计部门随机调查了200户居民去年一年的月均用电量（单位： $kW \cdot h$ ），并将得到数据按如下方式分为9组： $[0 ， 40)$ ， $[40 ， 80)$ ，…， $[320 ， 360]$ ，绘制得到如下的频率分布直方图：

(1)、试估计抽查样本中用电量在 $[160 ， 200)$ 的用户数量；

(2)、为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯电价，使 $75 %$ 的居民缴费在第一档， $20 %$ 的居民缴费在第二档，其余 $5 %$ 的居民缴费在第三档，试基于统计数据确定第二档月均用电量的范围（计算百分位数时，结果四舍五入取整数：范围用左开右闭区间表示）

(3)、为了解用户的具体用电需求，统计部门决定在样本中月均用电量为 $[0 ， 40)$ 和 $[320 ， 360]$ 的两组居民用户中随机抽取两户进行走访，求走访对象来自不同分组的概率.

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22. 如图，四边形 $A B C D$ 是圆柱 $O O_{1}$ 的轴截面，点 $P$ 为底面圆周上异于 $A$ ， $B$ 的点.

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若圆柱的侧面积为 $2 π$ ，体积为 $π$ ，点 $Q$ 为线段 $D P$ 上靠近点 $D$ 的三等分点，是否存在一点 $P$ 使得直线 $A Q$ 与平面 $B D P$ 所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并指出点 $P$ 的位置；若不存在，说明理由.

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