山东省潍坊市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设 $i$ 为虚数单位，则复数 $\frac{1 + 2 i}{i} =$ （）

A、 $2 + i$ B、 $2 - i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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2. $\cos \frac{7 π}{6} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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3. 已知某扇形的半径为 $4 cm$ ，圆心角为 $2 r a d$ ，则此扇形的面积为（）

A、 $32 {cm}^{2}$ B、 $16 {cm}^{2}$ C、 $8 {cm}^{2}$ D、 $4 {cm}^{2}$

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4. 在 $△ A B C$ 中，点 $M$ 满足 $\vec{B M} = 2 \vec{M C}$ ，则（）

A、 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{A M} = \frac{1}{3} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A B} - \frac{1}{3} \vec{A C}$

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5. 二十四节气（The 24 Solar Terms）是指中国农历中表示季节变迁的24个特定节令，是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的.每个节气对应地球在黄道上运动 $15 °$ 所到达的一个位置，根据上述描述，从夏至到立秋对应地球在黄道上运动的角度为（）

A、 $15 °$ B、 $45 °$ C、 $30 °$ D、 $60 °$

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6. 已知 $\cos (θ - \frac{π}{4}) = \frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，则 $\sin 2 θ =$ （）

A、 $- \frac{24}{25}$ B、 $- \frac{12}{25}$ C、 $\frac{12}{25}$ D、 $\frac{24}{25}$

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7. 已知一个圆柱的侧面积等于其表面积的 $\frac{2}{3}$ ，且其轴截面的周长为24，则该圆柱的体积为（）

A、 $16 π$ B、 $27 π$ C、 $36 π$ D、 $54 π$

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8. 若函数 $f (x) = \tan (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，则（）

A、 $f (2) > f (0) > f (- \frac{π}{5})$ B、 $f (0) > f (2) > f (- \frac{π}{5})$ C、 $f (0) > f (- \frac{π}{5}) > f (2)$ D、 $f (- \frac{π}{5}) > f (0) > f (2)$

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二、多选题

9. 若 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（）

A、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $| \vec{a} | = | \vec{b} |$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则 $\vec{a} / / \vec{c}$ D、若 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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10. 下列叙述正确的是（）

A、已知 $a$ ， $b$ 是空间中的两条直线，若 $a \cap b = \emptyset$ ，则直线 $a$ 与 $b$ 平行或异面 B、已知 $l$ 是空间中的一条直线， $α$ 是空间中的一个平面，若 $l \cap α \neq \emptyset$ ，则 $l \subset α$ 或 $l$ 与 $α$ 只有一个公共点 C、已知 $α$ ， $β$ 是空间两个不同的平面，若 $α \cap β \neq \emptyset$ ，则 $α$ ， $β$ 必相交于一条直线 D、已知直线 $l$ 与平面 $α$ 相交，且 $l$ 垂直于平面 $α$ 内的无数条直线，则 $l ⊥ α$

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11. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边， $\sqrt{3} a = 2 c \sin A$ ，且 $0 < C < \frac{π}{2}$ ， $b = 4$ ，则以下说法正确的是（）

A、 $C = \frac{π}{3}$ B、若 $c = \frac{7}{2}$ ，则 $\cos B = \frac{1}{7}$ C、若 $\sin A = 2 \cos B \sin C$ ，则 $△ A B C$ 是等边三角形 D、若 $△ A B C$ 的面积是 $2 \sqrt{3}$ ，则该三角形外接圆半径为4

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12. 水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为 $R$ 的水车，一个水斗从点 $A (3 ， - 3 \sqrt{3})$ 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过 $t$ 秒后，水斗旋转到 $P$ 点，设点 $P$ 的坐标为 $(x ， y)$ ，其纵坐标满足 $y = f (t) = R \sin (ω t + φ) (t \geq 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，则下列叙述正确的是（）

A、 $φ = - \frac{π}{3}$ B、当 $t \in [0 ， 60]$ 时，函数 $y = f (t)$ 单调递增 C、当 $t \in [0 ， 60]$ 时，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离的最大值为 $3 \sqrt{3}$ D、当 $t = 100$ 时， $| P A | = 6$

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三、填空题

13. 已知复数 $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} i$ ， $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ .

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14. 已知正四棱锥的侧面都是等边三角形，且高为2，则该正四棱锥的斜高为.

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15. 若函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，将 $y = f (x)$ 的图像向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，所得图像关于 $y$ 轴对称，则 $φ$ 的最小正值为.

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16. 已知两个非零向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ ， \sin θ)$ ， $θ \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $θ =$ ；若存在两个不同的 $θ$ ，使得 $| \vec{a} + \sqrt{3} \vec{b} | = m | \vec{a} |$ 成立，则正数 $m$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 已知角 $α$ 的顶点与坐标原点 $O$ 重合，始边落在 $x$ 轴的正半轴上，终边经过点 $A (4 ， y_{0})$ ，其中 $y_{0} \neq 0$ .

(1)、若 $\cos α = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $y_{0}$ 的值；

(2)、若 $y_{0} = - 4$ ，求 $\frac{2 \sin α + 3 \cos α}{\cos α - 4 \sin α}$ 的值.

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18. 某广场设置了一些多面体形或球形的石凳供市民休息.如图（1）的多面体石凳是由图（2）的正方体石块截去八个相同的四面体得到，且该石凳的体积是 $\frac{160000}{3} {cm}^{3}$ .

(1)、求正方体石块的棱长；

(2)、若将图（2）的正方体石块打磨成一个球形的石凳，求此球形石凳的最大表面积.

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19. 已知向量 $\vec{a} = (- 3 ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2)$ ， $\vec{n} = \vec{a} - k \vec{b} (k \in R)$ .

(1)、若 $\vec{n}$ 与向量 $2 \vec{a} - \vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值；

(2)、若向量 $\vec{c} = (1 ， - 1)$ ，且 $\vec{n}$ 与向量 $k \vec{b} + \vec{c}$ 平行，求实数 $k$ 的值.

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20. 从① $B = \frac{π}{4}$ ，② $a = 3 \sqrt{2} \sin B$ 这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答.已知 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，且 $\sin^{2} A = \sin^{2} B + \sin^{2} C + \sin B \sin C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、已知 $b = \sqrt{6}$ ，且______，求 $\sin C$ 的值及 $△ A B C$ 的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

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21. 某市获得全国文明城市荣誉后，着力健全完善创建工作长效机制，把文明城市创建不断引向深入.近年来，该市规划建设了一批富有地方特色、彰显独特个性的城市主题公园，某主题公园为五边形区域 $A B C D E$ （如图所示），其中三角形区域 $A B E$ 为健身休闲区，四边形区域 $B C D E$ 为文娱活动区， $A B$ ， $B C$ ， $C D$ ， $D E$ ， $E A$ ， $B E$ 为主题公园的主要道路（不考虑宽度），已知 $∠ B A E = 60 °$ ， $∠ E B C = 90 °$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $D E = 3 B C = 3 C D = \sqrt{3} km$ .

(1)、求道路 $B E$ 的长度；

(2)、求道路 $A B$ ， $A E$ 长度之和的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | \leq \frac{π}{2})$ 的图象如图所示.

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到曲线 $C$ ，把 $C$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的曲线对应的函数记作 $y = g (x)$ .
（i）求函数 $h (x) = f (\frac{x}{2}) g (x)$ 的最大值；

（ii）若函数 $F (x) = g (\frac{π}{2} - 2 x) + m g (x) (m \in R)$ 在 $(0 ， n π) (n \in N^{+})$ 内恰有2015个零点，求 $m$ 、 $n$ 的值.

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