山东省威海市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 时间经过5小时，时针转过的弧度数为（）

A、 $- \frac{5}{6} π$ B、 $\frac{5}{6} π$ C、 $- \frac{5}{12} π$ D、 $\frac{5}{12} π$

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2. 已知 $\cos θ = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $θ \in (π, 2 π)$ ，则 $\tan θ =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $- \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 \sqrt{2}$

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3. 已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2), \vec{b} = (2, m)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、-1 C、4 D、-4

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4. 下列选项中描述的空间角类型与其它三项不同的是（）

A、短道速滑运动员在弯道时由于离心力的作用，身体与冰面产生通常小于45°的角度 B、为保证安全性和舒适性，一般客机起飞时会保持 $10^{\circ} \sim 20^{\circ}$ 的仰角 C、市场上主流笔记本电脑屏幕开合角度一般在 $0^{\circ} \sim 130^{\circ}$ ，超过这个角度容易导致转轴损坏 D、春分时节，威海正午时分太阳的高度角约为53°

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5. 已知角 $θ$ 的顶点为坐标原点，始边与 $x$ 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 $P (- \frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ ，则 $\sin (2 θ - \frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $- \frac{7}{25}$ B、 $\frac{7}{25}$ C、 $- \frac{4}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为（）

A、 $\frac{19}{8 π}$ 立方丈 B、 $\frac{19}{12 π}$ 立方丈 C、 $\frac{19 π}{8}$ 立方丈 D、 $\frac{19 π}{12}$ 立方丈

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7. 已知 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A、若 $m // α, m // β$ ，则 $α // β$ B、若 $m // α, n // β, α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $m ⊥ α, n // α$ ，则 $m ⊥ n$ D、若 $m ⊥ α, m ⊥ n$ ，则 $n // α$

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8. 如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A D ⊥ C D$ ， $A D = C D = \sqrt{6}$ ， $A C ⊥ B C$ ， $∠ B = 60^{o}$ ，现将 $△ A C D$ 沿 $A C$ 边折起，并连接 $B D$ ，当三棱锥 $D - A B C$ 的体积最大时，其外接球的表面积为（）

A、 $4 π$ B、 $8 π$ C、 $12 π$ D、 $16 π$

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二、多选题

9. 下列选项中，与 $\sin (- \frac{11}{6} π)$ 的值相等的是（）

A、 $2 \cos^{2} 15^{o} - 1$ B、 $\cos 18^{o} \cos 42^{o} - \sin 18^{o} \sin 42^{o}$ C、 $2 \sin 15^{o} \sin 75^{o}$ D、 $\frac{\tan 30^{o} + \tan 15^{o}}{1 - \tan 30^{o} \tan 15^{o}}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin x + \cos x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、将 $y = f (x)$ 图象上所有点向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，得到 $g (x) = \sin x - \cos x$ 的图象

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11. 已知非零平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ , $\vec{c}$ ,则（）

A、存在唯一的实数对 $m, n$ ，使 $\vec{c} = m \vec{a} + n \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ ，则 $\vec{b} // \vec{c}$ C、若 $\vec{a} // \vec{b} // \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} | = | \vec{a} | + | \vec{b} | + | \vec{c} |$ D、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$

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12. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面边长为1， $A A_{1} = 2$ ，则（）

A、 $D_{1} C / /$ 平面 $A_{1} B C_{1}$ B、异面直线 $A_{1} B$ 与 $A C$ 所成角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ C、 $A C ⊥$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B C D_{1}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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三、填空题

13. 已知单位向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a} + \sqrt{3} \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为.

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14. 设 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，已知 $a = 2$ ， $c = \sqrt{6}$ ， $A = 45^{o}$ ，则角 $C =$ .

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15. 函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为．

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16. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，则平面 $A C_{1} D_{1}$ 与平面 $A B C D$ 所成角为；设 $P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，过点 $A$ ， $P$ ， $D_{1}$ 的平面截该正方体所得截面的面积为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = 4 \cos (x + \frac{π}{3}) \sin x$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{4}]$ 时，求 $f (x)$ 的取值范围.

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18. 设 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，若 $b - a \cos C = \frac{\sqrt{3}}{3} a \sin C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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19. 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $D$ 为 $B C$ 的中点.

(1)、求证：平面 $A D C_{1} ⊥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$ ；

(2)、若 $A B = 2 A A_{1} = 4$ ，求点 $A_{1}$ 到平面 $A D C_{1}$ 的距离.

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20. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $A C = 1$ ， $∠ B A C = 120^{o}$ ，点 $E$ ， $F$ 在 $B C$ 边上且 $\vec{B E} = λ \vec{B C}$ ， $\vec{B F} = μ \vec{B C}$ .

(1)、若 $λ = \frac{1}{3}$ ，求 $A E$ 的长；

(2)、若 $\vec{A E} \cdot \vec{A F} = 4$ ，求 $\frac{1}{λ} + \frac{1}{μ}$ 的值.

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为 $2$ 的菱形， $P B = P D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $P A$ ， $B C$ 的中点.

(1)、求证： $M N //$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求证： $B D ⊥ P A$ ；

(3)、若 $∠ D A B = ∠ P A C = 60^{o}$ ， $∠ A P C = 90^{o}$ ，求直线 $P B$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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22. 天津海河永乐桥上的摩天轮被誉为“天津之眼”，是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.如图所示，该摩天轮直径为110米，最高点距离地面120米，相当于40层楼高，摩天轮的圆周上均匀的安装了48个透明座舱，每个座舱最多可坐8人，整个摩天轮可同时供380余人观光，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要30分钟.

(1)、某游客自最低点处登上摩天轮，请问5分钟后他距离地面的高度是多少？

(2)、若甲乙两游客分别坐在 $A$ ， $B$ 两个座舱里，且他们之间间隔15个座舱，求 $A$ ， $B$ 两个座舱的直线距离；

(3)、若游客在距离地面至少92.5米的高度能够获得俯瞰天津市美景的最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间会有这种最佳视觉效果.

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