山东省青岛胶州市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$ ，且 $\bar{z} \cdot (1 + 2 i) = 4 + 3 i$ （其中 $i$ 是虚数单位），则 $z =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $1 + 2 i$ D、 $1 - 2 i$

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2. 某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有1000名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：

体重变化

体重减轻

体重不变

体重增加

人数

600

200

200

如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（）

A、0.1 B、0.2 C、0.5 D、0.6

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3. 若圆锥 $W$ 的底面半径与高均为1，则圆锥 $W$ 的表面积等于（）

A、 $(\sqrt{2} + 1) π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $2 π$ D、 $\frac{π}{3}$

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4. 随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件 $A$ ，记“向上的点数之差为奇数”为事件 $B$ ，则（）

A、 $A \cap B \neq \emptyset$ B、 $A \subseteq B$ C、 $A, B$ 互斥但不对立 D、 $A, B$ 对立

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 30 °$ ， $A C = \sqrt{3} + 1$ ， $∠ C = 45 °$ ，则 $A B =$ （）

A、 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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6. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，上下底面均为等腰直角三角形，且 $A B = \sqrt{2} B C = \sqrt{2}, A A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ，若该三棱柱存在内切球，则 $A A_{1} =$ （）

A、2 B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $2 + \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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7. 甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为 $\frac{1}{3}, \frac{1}{2}$ ，则密码被破译的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、1

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8. 设 $m, n$ 是两条不同的直线， $α, β$ 是两个不同的平面，下列命题中不正确的是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $m / / n$ ， $n / / β$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊄ α$ ， $m ⊥ β$ ，则 $m / / α$ C、若 $m ⊥ β$ ， $m \subset α$ ，则 $α ⊥ β$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m ⊥ n$

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二、多选题

9. 如图，在四棱锥 $B - A C D E$ 中， $A E // C D$ ， $C D = 2 A E$ ，点 $M ， N$ 分别为 $B E ， B A$ 的中点，若 $D M \cap C N = P$ ， $D E \cap C A = Q$ ，则下述正确的是（）

A、 $\vec{D M} = \vec{D E} + \vec{D B}$ B、直线 $D E$ 与 $B C$ 异面 C、 $M N // C D$ D、 $B ， P ， Q$ 三点共线

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10. 某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为1~1000的1000名学生进行了调查.调查中使用了两个问题，问题1：您的编号是否为奇数？问题2：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球100个，红球100个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题1，若摸出红球则回答问题2，共有270人回答“是”，则下述正确的是（）

A、估计被调查者中约有520人吸烟 B、估计约有20人对问题2的回答为“是” C、估计该地区约有4%的中学生吸烟 D、估计该地区约有2%的中学生吸烟

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11. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E ， F$ 分别为线段 $A D ， C D$ 的中点， $A F \cap C E = G$ ，则（）

A、 $\vec{A F} = \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ B、 $\vec{E F} = \frac{1}{2} (\vec{A D} + \vec{A B})$ C、 $\vec{A G} = \frac{2}{3} \vec{A D} - \frac{1}{3} \vec{A B}$ D、 $\vec{B G} = 3 \vec{G D}$

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12. 如图，线段 $A B$ 为圆 $O$ 的直径，点 $E$ ， $F$ 在圆 $O$ 上， $E F // A B$ ，矩形 $A B C D$ 所在平面和圆 $O$ 所在平面垂直，且 $A B = 2$ ， $E F = A D = 1$ ，则下述正确的是（）

A、 $O F / /$ 平面 $B C E$ B、 $B F ⊥$ 平面 $A D F$ C、点 $A$ 到平面 $C D F E$ 的距离为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ D、三棱锥 $C - B E F$ 外接球的体积为 $\sqrt{5} π$

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三、填空题

13. 向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ， $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，则 $| 5 \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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14. 在三棱锥 $A - B C D$ 中，若平面 $A B C ⊥$ 平面 $B C D$ ， $B D = C D$ 且 $B D ⊥ C D$ .则直线 $C D$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小为.

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15. 设角 $A, B, C$ 是 $Δ A B C$ 的三个内角，已知向量 $\vec{m} = (\sin A + \sin C, \sin B - \sin A)$ ， $\vec{n} = (\sin A - \sin C, \sin B)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .则角 $C$ 的大小为.

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16. 某人有3把钥匙，其中2把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为.

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四、解答题

17. 已知 $i$ 是虚数单位，复数 $z_{1} = i, z_{2} = 1 + i, z_{3} = \frac{1 + i}{i}, z_{4} = \frac{i}{1 + i}$ .

(1)、求 $| z_{1} |, | z_{2} |, | z_{3} |, | z_{4} |$ ；

(2)、随机从复数 $z_{2}, z_{3}, z_{4}$ 中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等于1的概率.

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18. 如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $G$ 为 $F C$ 的中点，平面 $A B F E \cap$ 平面 $C D E F = E F$ ， $M$ 为线段 $C D$ 上的一点， $B M ⊥ F C$ ， $△ B F C$ 是等边三角形.

(1)、证明： $A F //$ 平面 $B D G$ ；

(2)、证明： $A B // E F$ ；

(3)、证明：平面 $B G M$ $⊥$ 平面 $B F C$ .

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19. 在① $\sin B \sin C = \frac{1}{4}$ ；② $\tan B + \tan C = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答.
在 $Δ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ， $\tan B \tan C = \frac{1}{3}$ ， $a = 2 \sqrt{3}$ ， .

(1)、求角 $A, B, C$ 的大小；

(2)、求 $Δ A B C$ 的周长和面积.

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20. 如图，在半圆柱 $W$ 中， $A B$ 为上底面直径， $D C$ 为下底面直径， $A D$ 为母线， $A B = A D = 2$ ，点 $F$ 在 $\overset{⌢}{A B}$ 上，点 $G$ 在 $\overset{⌢}{D C}$ 上， $B F = D G = 1$ ， $P$ 为 $D C$ 的中点.

(1)、求三棱锥 $A - D G P$ 的体积；

(2)、求直线 $A P$ 与直线 $B F$ 所成角的余弦值；

(3)、求二面角 $A - G C - D$ 的正切值.

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21. 有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的 $1.00 p p m$ （即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害.现从一批该鱼中随机选出30条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位： $p p m$ ），数据统计如下：
$\begin{array}{l} 0.07 0.24 0.39 0.54 0.61 0.66 0.73 0.82 0.82 0.82 \\ 0.87 0.91 0.95 0.98 0.98 1.02 1.02 1.08 1 .14 1 .20 \\ 1.20 1.26 1.29 1.31 1.37 1.40 1.44 1.58 1 .62 1 .68 \end{array}$

(1)、求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的80%分位数；

(2)、有 $A$ ， $B$ 两个水池，两水池之间有10个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过2条鱼.
（ⅰ）将其中汞的含量最低的2条鱼分别放入 $A$ 水池和 $B$ 水池中，若这2条鱼的游动相互独立，均有 $\frac{1}{3}$ 的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；

（ⅱ）将其中汞的含量最低的2条鱼都先放入 $A$ 水池中，若这2条鱼均会独立地且等可能地从其中任意一个小孔由 $A$ 水池进入 $B$ 水池且不再游回 $A$ 水池，求这两条鱼由不同小孔进入 $B$ 水池的概率.

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22. 某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：

(1)、估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）

(2)、某老师抽取了10名学生的分数： $x_{1} ， x_{2} ， x_{3} ， ... ， x_{10}$ ，已知这10个分数的平均数 $\bar{x} = 90$ ，标准差 $s = 6$ ，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.（参考公式： $s = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}{n}}$ ）

(3)、该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为60米，南北宽均为20米.其中1号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为40米，3号教学楼在2号教学楼的正东且楼距为72米.现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为 $35 ， 55 ， 105$ 米，每个售价相应依次为 $1500 ， 2000 ， 4000$ 元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为100元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据： $210^{2} = 44100 ， 192^{2} = 36864 ， 110^{2} = 12100$ ）

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体重变化	体重减轻	体重不变	体重增加
人数	600	200	200