山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若复数 $z$ 满足 $z i = 2 + 5 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 在复平面上对应的点的坐标为（）

A、 $(2, 5)$ B、 $(2, - 5)$ C、 $(- 5, 2)$ D、 $(5, - 2)$

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2. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{2}{5}$

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3. 如图所示的直观图中， $O^{'} A^{'} = O^{'} B^{'} = 2$ ，则其平面图形的面积是（）

A、4 B、 $4 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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4. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $| \vec{a} | = \sqrt{2} | \vec{b} |$ ，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5. 设l是直线， $α$ ， $β$ 是两个不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $l // α$ ， $l // β$ ，则 $α // β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $l // α$ ，则 $l ⊥ β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ α$ ，则 $l // β$ D、若 $l // α$ ， $l ⊥ β$ ，则 $α ⊥ β$

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6. 已知圆锥的顶点为 $P$ ，母线 $P A$ ， $P B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ ， $P A$ 与圆锥底面所成角为 $60^{°}$ ，若 $△ P A B$ 的面积为 $\sqrt{7}$ ，则该圆锥的体积为（）．

A、 $2 \sqrt{2} π$ B、 $\sqrt{2} π$ C、 $\frac{2 \sqrt{6}}{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3} π$

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7. 已知数据 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{2020}$ 的方差为4，若 $y_{i} = - 2 (x_{i} - 3), (i = 1, 2, \cdot \cdot \cdot, 2020)$ ，则新数据 $y_{1}, y_{2}, \cdot \cdot \cdot, y_{2020}$ 的方差为（）

A、16 B、13 C、-8 D、-16

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8. $Δ$ ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asin AsinB+bcos²A= $\sqrt{2} a$ ，则 $\frac{b}{a} =$ （）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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二、多选题

9. 若干个人站成排，其中不是互斥事件的是（）

A、“甲站排头”与“乙站排头” B、“甲站排头”与“乙不站排尾” C、“甲站排头”与“乙站排尾” D、“甲不站排头”与“乙不站排尾”

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10. 下面是甲、乙两位同学高三上学期的5次联考的数学成绩，现只知其从第1次到第5次分数所在区间段分布的条形图（从左至右依次为第1至第5次），则从图中可以读出一定正确的信息是（）

A、甲同学的成绩的平均数大于乙同学的成绩的平均数 B、甲同学的成绩的中位数在115到120之间 C、甲同学的成绩的极差小于乙同学的成绩的极差 D、甲同学的成绩的中位数小于乙同学的成绩的中位数

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11. 已知 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（）

A、 $| \vec{a} \cdot \vec{b} | \leq | \vec{a} | | \vec{b} |$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{b}$ 且 $\vec{b} \neq \vec{0}$ ，则 $\vec{a} = \vec{c}$ C、两个非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，若 $| \vec{a} - \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且反向 D、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + λ \vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $λ$ 的取值范围是 $(- \frac{5}{3}, + \infty)$

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12. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B$ ，截面 $B D E$ 与直线 $P C$ 平行，与 $P A$ 交于点E ，则下列判断正确的是（）

A、E为 $P A$ 的中点 B、 $B D ⊥$ 平面 $P A C$ C、 $P B$ 与 $C D$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、三棱锥 $C - B D E$ 与四棱锥 $P - A B C D$ 的体积之比等于 $1 ： 4$ .

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三、填空题

13. 若复数 $z$ 满足方程 $z^{2} + 2 = 0$ ，则 $z^{3} =$ .

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，点 $E$ 为线段 $A D$ 的中点，若 $\vec{B C} = 2 \vec{C D}$ ，且 $\vec{A E} = λ \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ ，则 $λ =$ .

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15. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮。假设某选手正确回答每个问题的概率都是 $0. 8$ ，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于.

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16. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $O$ 为线段 $B D$ 的中点，设点 $P$ 在线段 $C C_{1}$ 上，直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成的角为 $α$ ，则 $\sin α$ 的最小值，最大值.

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四、解答题

17. 如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．

(1)、设 $\overset{⇀}{P G} = λ \overset{⇀}{P Q}$ ，将 $\overset{⇀}{O G}$ 用 $λ$ ， $\overset{⇀}{O P}$ ， $\overset{⇀}{O Q}$ 表示；

(2)、设 $\overset{⇀}{O P} = x \overset{⇀}{O A}$ ， $\overset{⇀}{O Q} = y \overset{⇀}{O B}$ ，证明： $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 是定值．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \cos^{2} x + 2 \sqrt{3} \sin x \cos x + a$ ，且当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的最小值为2.

(1)、求 $a$ 的值，并求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、先将函数 $y = f (x)$ 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再将所得的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，当 $x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 时，求 $g (x) \geq 4$ 的 $x$ 的集合.

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19. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C$ .

(1)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B C$ ；

(2)、若 $P A = A C = 1$ ， $B C = 2$ ， $M$ 是 $P B$ 的中点，求 $A M$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值.

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20. 某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75），第二组[75，85）， $\dots$ 第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.

(1)、根据图表，计算第七组的频率，并估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；

(2)、若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率.

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21. $Δ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c \cos B = (3 a - b) \cos C$ .

(1)、求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{6}$ ， $b - a = 2$ ，求 $Δ A B C$ 的面积.

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22. 如图，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $H$ 是正方形 $A A_{1} B_{1} B$ 的中心， $A A_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $C_{1} H ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ，且 $C_{1} H = \sqrt{5}$ .

(1)、求异面直线 $A C$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $A - A_{1} C_{1} - B_{1}$ 的正弦值；

(3)、设 $N$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点， $E$ 在 $A_{1} B_{1}$ 上，并且 $B_{1} E ： B_{1} A_{1} = 1 ： 4$ ，点 $M$ 在平面 $A A_{1} B_{1} B$ 内，且 $M N ⊥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，证明： $M E //$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ .

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