山东省临沂市2019-2020学年高一下学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 2 i$ （i为虚数单位），则 $\bar{z}$ （ $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数）在复平面内对应的点位于（）

A、第一限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. $\sin 14^{\circ} \cos 16^{\circ} + \sin 76^{\circ} \cos 74^{\circ}$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、- $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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3. 某工厂12名工人的保底月薪如下表所示，第80百分位是（）

工人	保底月薪	工人	保底月薪
1	2890	7	2850
2	2860	8	3130
3	3050	9	2880
4	2940	10	3325
5	2755	11	2920
6	2710	12	2950

A、3050 B、2950 C、3130 D、3325

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4. 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，若采取有放回简单随机抽样，则抽到的两人中有一男一女的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是两个非零向量，且 $| \vec{a} | = | \vec{b} | = | \vec{a} + \vec{b} |$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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6. 已知α ， β是两个不同的平面，m ， n是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）

A、如果 $m / / α$ ， $n / / α$ ，那么 $m / / n$ B、如果 $m ⊥ α$ ， $n / / α$ ，那么 $m ⊥ n$ C、如果 $m ⊥ n$ ， $m ⊥ α$ ， $n / / β$ ，那么 $α ⊥ β$ D、如果 $m / / n$ ， $α / / β$ ，则m与 $α$ 所成的角和n与β所成的角不相等

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7. 魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为 $π ： 4$ ，若“牟合方盖”的体积为18，则正方体的棱长为（）

A、18 B、6 C、3 D、2

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8. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， $A = 60 °$ ，且 $a = 2 b - c$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、钝角三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形

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二、多选题

9. 设i为虚数单位，复数 $z = (a + i) (1 + 2 i)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $z$ 为纯虚数，则实数a的值为2 B、若 $z$ 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a的取值范围是 $(- \frac{1}{2} ， 2)$ C、实数 $a = - \frac{1}{2}$ 是 $z = \bar{z}$ （ $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数）的充要条件 D、若 $z + | z | = x + 5 i (x \in R)$ ，则实数a的值为2

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10. 下列说法正确的是（）

A、在 $△ A B C$ 中，若 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A C}$ ，则点D是边BC的中点 B、已知 $\vec{a} = (- 1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (x ， x - 1)$ ，若 $(\vec{b} - 2 \vec{a}) / / \vec{a}$ ，则 $x = - 1$ C、已知A ， B ， C三点不共线，B ， C ， M三点共线，若 $\vec{A M} = x \vec{A B} + (2 x - 1) \vec{A C}$ ，则 $x = \frac{1}{2}$ D、已知正方形ABCD的边长为1，点M满足 $\vec{D M} = \frac{1}{2} \vec{M C}$ ，则 $\vec{A M} \cdot \vec{A C} = \frac{4}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图，将函数 $f (x)$ 的图象所有点的横坐标伸长到原来的 $\frac{3}{2}$ ，再将所得函数图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到函数 $g (x)$ 的图象，则下列关于函数 $g (x)$ 的说法正确的是（）

A、点 $(\frac{π}{6} ， 0)$ 是 $g (x)$ 图象的一个对称中心 B、 $x = \frac{π}{6}$ 是 $g (x)$ 图象的一条对称轴 C、 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{3}]$ 上单调递增 D、若 $| g (x_{1}) - g (x_{2}) | = 4$ ，则 $| x_{1} - x_{2} |$ 的最小值为 $\frac{π}{2}$

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12. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C C_{1} = \sqrt{6}$ ， $A B = B C = 2$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ，点M是棱 $A A_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、异面直线BC与 $B_{1} M$ 所成的角为 $90 °$ B、在 $B_{1} C$ 上存在点D ，使 $M D / /$ 平面ABC C、二面角 $B_{1} - A C - B$ 的大小为 $60 °$ D、 $B_{1} M ⊥ C M$

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三、填空题

13. 已知 $\sin (π + α) - 3 \sin (\frac{π}{2} - α) = 0$ ，则 $\cos 2 α$ 的值为.

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14. 数据5，7，7，8，10，11的平均数是，标准差是.

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15. 一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆柱的体积为 $\sqrt{3} π$ ，则该圆锥的表面积为.

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16. 如图，在四边形ABCD中，已知 $A B ⊥ B C$ ， $A B = 5$ ， $A D = 7$ ， $∠ B C D = 135 °$ ， $\cos A = \frac{1}{7}$ ，则 $B C =$ .

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四、解答题

17. 在平面直角坐标系xOy中，已知 $\vec{A B} = (- 4 ， - 3)$ ， $\vec{B C} = (3 ， 1)$ .

(1)、求 $\vec{B A}$ 与 $\vec{B C}$ 夹角的余弦值；

(2)、设 $\vec{A P} = λ \vec{A C}$ ，若 $B P ⊥ A C$ ，求实数 $λ$ 的值.

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18. 某学校就学生对端午节文化习俗的了解情况，进行了一次20道题的问卷调查，每位同学都是独立答题，在回收的试卷中发现甲同学答对了12个，乙同学答对了16个.假设答对每道题都是等可能的，试求：

(1)、任选一道题目，甲乙都没有答对的概率；

(2)、任选一道题目，恰有一人答对的概率.

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19. 在 $△ A B C$ 中，角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $b = a (\sin C + \cos C)$ .

(1)、求A；

(2)、在① $a = 2$ ，② $B = \frac{π}{3}$ ，③ $c = \sqrt{2} b$ 这三个条件中，选出两个使 $△ A B C$ 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题，若 ▲ ， ▲ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 受突如其来的新冠疫情的影响，全国各地学校都推迟2020年的春季开学，某学校“停课不停学”，利用云课平台提供免费线上课程，该学校为了解学生对线上课程的满意程度，随机抽取了100名学生对该线上课程评分、其频率分布直方图如图.

(1)、求图中a的值；

(2)、求评分的中位数；

(3)、以频率当作概率，若采用分层抽样的方法，从样本评分在 $[60，70)$ 和 $[90 ， 100]$ 内的学生中共抽取5人进行测试来检验他们的网课学习效果，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人中至少一人评分在 $[60，70)$ 内的概率.

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21. 如图，在平行四边形ABCM中， $A B = A C = 4$ ， $∠ A C M = 90 °$ ，以AC为折痕将 $△ A C M$ 折起，使点M到达点D的位置，且 $A B ⊥ D A$ .

(1)、证明：平面 $A C D ⊥$ 平面ABC；

(2)、设Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且 $B P = D Q = \frac{1}{4} D A$ ，求三棱锥 $Q - A B P$ 的体积.

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22. 已知 $\vec{a} = (\cos \frac{x}{4} ， - \sin \frac{x}{4})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} \cos \frac{x}{4} ， \cos \frac{x}{4})$ ， $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，将曲线 $y = f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 得到函数 $y = g (x)$ 的图象.

(1)、若 $f (α) = \frac{1}{2}$ ， $α \in [0 ， π]$ ，求 $\tan (α - \frac{π}{4})$ 的值；

(2)、若不等式 $m \cos^{2} x - m \cdot g (π - 2 x) \leq m + 3$ 对任意 $x \in R$ 恒成立，求实数m的取值范围.

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