山东省聊城市2019—2020学年高一下学期数学期末教学质量抽测试卷

试卷更新日期：2021-05-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在复平面内，复数 $- 1 + i$ 所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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2. 向量 $\vec{a} = (1 ， \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3} ， 1)$ ，则向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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3. 某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法一定正确的是（）

A、甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数 B、甲班平均成绩高于乙班平均成绩 C、甲班学生比乙班学生发挥稳定 D、甲班不及格率高于乙班不及格率

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4. 已知α为第二象限角， $\sin α + \cos α = \frac{1}{5}$ ，则tan2α＝（）

A、﹣ $\frac{24}{7}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{4}{3}$

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5. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E为棱DC的中点，则异面直线AE与BC₁所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{25}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$

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6. 角 $α$ 的终边与单位圆的交点坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ ，将 $α$ 的终边绕原点顺时针旋转 $\frac{3 π}{4}$ ，得到角 $β$ ，则 $\cos (α + β) =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{4}$ D、0

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7. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知acosA＝bcosB，且c²＝a²+b²﹣ab，则△ABC的形状为（）

A、等腰三角形或直角三角形 B、等腰直角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形

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8. 用五点法作函数

y = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})

的图象时，得到如下表格：

$x$	$\frac{π}{6}$		$\frac{2 π}{3}$
$ω x + φ$	0	$\frac{π}{2}$	$π$	$\frac{3 π}{2}$	$2 π$
$y$	0	4	0	-4	0

则 $A$ ， $ω$ ， $φ$ 的值分别为（）

A、4，2，

- \frac{π}{3}

B、4，

\frac{1}{2}

，

\frac{π}{3}

C、4，2，

\frac{π}{6}

D、4，

\frac{1}{2}

，

- \frac{π}{6}

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9. 为了得到函数 $y = \cos (2 x + \frac{π}{4})$ 的图象，可作如下变换（）

A、将y＝cosx的图象上所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变而得到 B、将y＝cosx的图象上所有点向右平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到 C、将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度而得到 D、将y＝cosx的图象上所有点的横坐标变为原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移 $\frac{π}{4}$ 个单位长度而得到

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二、多选题

10. 下列命题不正确的是（）

A、过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直 B、如果平面 $α ⊥$ 平面 $β$ ，平面 $β ⊥$ 平面 $γ$ ，那么平面 $α / /$ 平面 $γ$ C、已知 $a$ ， $b$ 为直线， $α$ 为平面，若 $a / / α$ ， $b / / α$ ，则 $a / / b$ D、 $l$ ， $m$ ， $n$ 为直线， $α$ 为平面， $m \subset α$ ， $n \subset α$ .“ $l ⊥ α$ ”的充要条件是“ $l ⊥ m$ ，且 $l ⊥ n$ ”

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11. 下列结论正确的是（）

A、已知 $\vec{a}$ 是非零向量， $\vec{b} \neq \vec{c}$ ，若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a}$ ⊥（ $\vec{b} - \vec{c}$ ） B、向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |＝1，| $\vec{b}$ |＝2， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2}$ $\vec{b}$ C、点P在△ABC所在的平面内，满足 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} = \vec{0}$ ，则点P是△ABC的外心 D、以（1，1），（2，3），（5，﹣1），（6，1）为顶点的四边形是一个矩形

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12. 如图，ABCD是边长为2的正方形，点E，F分别为达BC，CD的中点，将△ABE，△ECF，△FDA分别沿AE，EF，FA折起，使B，C，D三点重合于点P，则（）

A、AP⊥EF B、点P在平面AEF内的射影为△AEF的垂心 C、二面角A﹣EF﹣P的余弦值为 $\frac{1}{3}$ D、若四面体P﹣AEF的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是24π

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三、填空题

13. 复数2+i为一元二次方程x²+ax+b＝0（a，b∈R）的一个根，则复数|a+bi|＝．

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14. 为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量（单位：克）如下：
495 500 503 508 498 500 493 500 503 500

质量落在区间[ $\bar{x}$ ﹣s， $\bar{x}$ +s]（ $\bar{x}$ 表示质量的平均值，s为标准差）内的产品件数为．

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15. 如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AD，AB上的点，且 $\vec{A M} = \frac{2}{3} \vec{A D} ， \vec{A N} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，MN交于点P．若 $\vec{A P} = λ \vec{A C}$ ，则λ的值为．

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16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．现有以下三个条件：①（2c+b）cosA+acosB＝0；②sin²B+sin²C﹣sin²A+sinBsinC＝0；③ $a^{2} - b^{2} - c^{2} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} S$ 请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解．已知向量 $\vec{m}$ ＝（4sinx，4 $\sqrt{3}$ ）， $\vec{n}$ ＝（cosx，sin²x），函数 $f (x) = \vec{m} \cdot \vec{n} - 2 \sqrt{3}$ 在△ABC中， $a = f (\frac{π}{3})$ ，且__________，求2b+c的取值范围．

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四、双空题

17. 直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AD∥BC，AD＝2，AB＝1，BC＝3，现将梯形ABCD绕边AD所在直线旋转一周得到一旋转体，则该旋转体的体积为，表面积为．

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五、解答题

18. 一家保险公司决定对推销员实行月标管理，按以往月销售额（单位：千元）把推销员分为甲、乙、丙三个层次，各层次人数如下：

甲

乙

丙

月销售额

[20，25]

[15，20）

[10，15）

人数

120

240

90

(1)、为了了解推销员对目标设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层随机抽样抽取30人进行座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人？

(2)、确定销售日标是否合适，直接影响到公司的经济效益，如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．现已知按上面的方法抽取了部分推销员的月销售额（单位：千元）：
14.2 15.8 17.7 19.2 22.4 18.2 16.4 21.8 15.6 24.6

23.2 19.8 12.8 13.5 16.3 11.5 13.6 14.9 15.7 16.2

17.0 17.2 17.8 18.0 18.4 19.5 20.5 22.1 24.0 24.8

公司为了使70%的推销员能够完成销售目标，根据这组样本数据，应将销售目标定为多少比较合理？

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19. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |＝1，| $\vec{b}$ |＝2，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线．

(1)、若向量 $\vec{a}$ +k $\vec{b}$ 与k $\vec{a}$ +2 $\vec{b}$ 为方向相反的向量，求实数k的值；

(2)、若向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为60°，求2 $\vec{a}$ + $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ 的夹角θ．

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20. 2020年是我国全面打赢脱贫攻坚战收官之年．某山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力发展当地的特色黄桃种植产业．为了了解某村黄桃的质量（单位：克）分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下了n个黄桃组成样本进行测重，其质量分布在区间[225，525]内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如图所示，已知质量分布在区间[275，325）内的有16个．

(1)、求n的值和质量落在区间[425，475）內的黄桃个数；

(2)、已知该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以20元/千克的价格收购该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入．

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21. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ A D$ ， $B C / / A D$ ， $A D = 2 B C$ ，且 $M$ 为 $P A$ 的中点.

(1)、求证： $B M / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $D P = D A$ ，求证：平面 $B D M ⊥$ 平面 $P A B$ .

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22. 亚洲第三大摩天轮“水城之眼”是我市的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城市地标．

(1)、某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点 $P$ 距地面的高度，选取了与点 $P$ 在地面上的射影 $A$ 在同一水平面内的两个测量基点 $B ， C$ （如图所示）；现测得 $∠ A B C = ∠ A C B = ∠ A C P = 30^{\circ}$ ，BC两点间的距离是 $390$ 米，求最高点 $P$ 距地面的高度 $P A$ ；

(2)、若摩天轮最低点 $Q$ 距地面的距离 $Q A = 20$ 米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要 $20$ 分钟．
①从游客进人摩天轮位于最低点 $Q$ 处的轿厢开始计时，转动 $t$ 分钟后距离地面的高度为 $h$ 米，求在转动一周的过程中， $h$ （单位：米）关于 $t$ （单位：分钟）的函数解析式；

②若只有当轿厢的高度 $h$ 超过 $47.5$ 米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间可以俯瞰东昌湖的美景．

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	甲	乙	丙
月销售额	[20，25]	[15，20）	[10，15）
人数	120	240	90