山东省济宁市2019—2020学年高一下学期数学质量检测期末考试试卷

试卷更新日期：2021-05-24 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $\vec{a} = (x, 1)$ ， $\vec{b} = (1, 2)$ ，且 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则实数x的值是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{7}{2}$

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2. 一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图 $O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为1，则原梯形的面积为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 设m ， n是不同的直线， $α$ ， $β$ ， $γ$ 是不同的平面，下列命题正确的是（）

A、若 $m // α$ ， $n \subset α$ ，则 $m // n$ B、若 $m // β$ ， $n // β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset α$ ，则 $α // β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ β$ ，则 $m // α$ D、若 $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $α \cap β = m$ ， $n \subset γ$ ，则 $m ⊥ n$

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4. 已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现采用随机模拟的方法估计其3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标；因为射击3次，故每3个随机数为一组，代表3次射击的结果，经随机模拟产生了20组随机数；
$\begin{matrix} 162 & 966 & 151 & 525 & 271 & 932 & 592 & 408 & 569 & 683 \\ 471 & 257 & 333 & 027 & 554 & 488 & 730 & 163 & 537 & 039 \end{matrix}$

据此估计，其中3次射击至少2次击中目标的概率约为（）

A、0.45 B、0.5 C、0.55 D、0.6

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5. 将一个棱长为3cm的正方体铁块磨成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为（）

A、 $9 π {cm}^{3}$ B、 $\frac{9}{2} π c m^{3}$ C、 $9 \sqrt{2} π {cm}^{3}$ D、 $\frac{27 \sqrt{3}}{2} π {cm}^{3}$

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6. 已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A A_{1} = 1$ ，则直线 $A_{1} C$ 和 $B C_{1}$ 所成的角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ C、 $\frac{\sqrt{42}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{7}$

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7. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $\vec{D E} = 3 \vec{C E}$ ，若 $A E$ 交 $B D$ 于点M.且 $\vec{A M} = λ \vec{A B} + μ \vec{A D}$ ，则 $\frac{λ}{μ} =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

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8. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标.常用区间 $[0, 10]$ 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.甲、乙两位同学分别随机抽取10位本地市民调查他们的幸福感指数，甲得到十位市民的幸福感指数为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，乙得到十位市民的幸福感指数的平均数为8、方差为2.2，则这20位市民幸福感指数的方差为（）

A、1.75 B、1.85 C、1.95 D、2.05

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二、多选题

9. 若复数z满足 $z (1 + i) = | \sqrt{3} - i |$ ，则（）

A、 $z = - 1 + i$ B、z的实部为1 C、 $\bar{z} = 1 + i$ D、 $z^{2} = 2 i$

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10. $△ A B C$ 是边长为2的等边三角形，已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{A B} = 2 \vec{a}$ ， $\vec{A C} = 2 \vec{a} + \vec{b}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a}$ 是单位向量 B、 $\vec{B C} // \vec{b}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ D、 $\vec{B C} ⊥ (4 \vec{a} + \vec{b})$

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11. 分别抛掷两枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），设事件 $M =$ “第一枚骰子的点数为奇数”，事件 $N =$ “第二枚骰子的点数为偶数”，则（）

A、M与N互斥 B、M与N不对立 C、M与N相互独立 D、 $P (M \cup N) = \frac{3}{4}$

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12. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点O为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，若以O为球心， $\sqrt{6}$ 为半径的球面与正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱有四个交点E ， F ， G ， H ，则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1} D_{1} //$ 平面 $E F G H$ B、 $A_{1} C ⊥$ 平面 $E F G H$ C、 $A_{1} B_{1}$ 与平面 $E F G H$ 所成的角的大小为45° D、平面 $E F G H$ 将正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 分成两部分的体积的比为 $1 ： 7$

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三、填空题

13. 在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O ，若向量 $\vec{O A}$ ， $\vec{O B}$ 对应的复数分别是 $1 - i$ ， $- 1 + 2 i$ ，则向量 $\vec{C D}$ 对应的复数是.

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14. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为．

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15. 如图，要计算某湖泊岸边两景点B与C的距离，由于受地形的限制，需要在岸上选取A和D两点，现测得 $A B = 5 km$ ， $A D = 7 km$ ， $∠ A B D = 60 °$ ， $∠ C B D = 15 °$ ， $∠ B C D = 120 °$ ，则两景点B与C的距离为km.

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16. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，E ， F是边 $B C$ 的三等分点，若 $| \vec{A B} + \vec{A C} | = \sqrt{3} | \vec{A B} - \vec{A C} |$ ，则 $\cos ∠ E A F =$

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，若 $b + 4 \cos A (a \cos C + c \cos A) = 0$ .

(1)、求 $\cos A$ 的值；

(2)、若 $a = 4$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - \frac{3}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 的分组作出频率分布直方图如图所示.

(1)、求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的第80百分位数；

(2)、若按照分层随机抽样从成绩在 $[80 ， 90)$ ， $(90 ， 100]$ 的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在 $[90 ， 100]$ 内的概率.

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19. 如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E ， F分别为 $A_{1} D_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点.

(1)、求证：平面 $A B_{1} E //$ 平面 $B D_{1} F$ ；

(2)、求平面 $A B_{1} E$ 与平面 $B D_{1} F$ 之间的距离.

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20. 如图所示，在 $△ A B C$ 中，点D为 $B C$ 边上一点，且 $A D = 2$ ， $\cos B = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $∠ A D B = 120 °$ .

(1)、求 $B D$ 的长；

(2)、若 $△ A D C$ 为锐角三角形，求 $△ A D C$ 的面积的取值范围.

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21. 甲、乙两人组成“星队”进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点M ，在点M处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点N ，在点N处投中一球得3分，不中得0分.已知甲、乙两人在M点投中的概率都为p ，在N点投中的概率都为q.且在M ， N两点处投中与否互不影响.设定甲、乙两人先在M处各投篮一次，然后在N处各投篮一次，甲、乙两人的得分之和为“星队”总得分.已知在一次比赛中甲得2分的概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙得5分的概率为 $\frac{1}{6}$ .

(1)、求p ， q的值；

(2)、求“星队”在一次比赛中的总得分为5分的概率.

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22. 如图1所示，在直角梯形 $A B C D$ 中， $B C // A D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $B C = 2$ ， $A D = 3$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，边 $A D$ 上一点E满足 $D E = 1$ .现将 $△ A B E$ 沿 $B E$ 折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，使平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面 $B C D E$ ，如图2所示.

(1)、求证： $A_{1} C ⊥ B E$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B E$ 与平面 $A_{1} C D$ 所成锐二面角的余弦值.

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