吉林省长春市2020-2021学年高二下学期理数期中考试试卷

试卷更新日期：2021-05-24 类型：期中考试

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一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）

1. 命题“ $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} \geq 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} < 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} < 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} \leq 0$

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2. 方程 $a x^{2} + 2 x + 1 = 0$ 至少有一个负实根的充要条件是（）

A、 $0 < a \leq 1$ B、 $a < 1$ C、 $a \leq 1$ D、 $0 < a \leq 1$ 或 $a < 0$

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3. 曲线 $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x + 3$ 在点 $(1 ， \frac{4}{3})$ 处的切线的倾斜角 $α$ 为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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4. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{3}}{e^{x}}$ ，那么（）

A、 $f (x)$ 有极小值，也有大极值 B、 $f (x)$ 有极小值，没有极大值 C、 $f (x)$ 有极大值，没有极小值 D、 $f (x)$ 没有极值

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5. 已知A_n²=132，则n=（　　）

A、11 B、12 C、13 D、14

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6. 在 ${(\frac{2}{x} - x)}^{6}$ 的二项式展开式中，常数项为（）

A、160 B、-160 C、60 D、=60

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7. 四个同学排成一排，甲只能排两端，共有多少种不同的排法？（）

A、6 B、12 C、24 D、30

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8. 将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，则出现“2次正面朝上，1次反面朝上”的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分別为 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{3}{4}$ ，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{7}$ D、 $\frac{5}{12}$

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10. 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且他各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：
①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是 ${0.9}^{3} \times 0.1$ ；③他至少击中目标1次的概率是 $1 － {0.1}^{4}$ ；④他恰好有连续2次击中目标的概率为 $3 \times {0.9}^{3} \times 0.1$ ；其中正确结论的序号是（）

A、①④ B、①③ C、②③ D、②④

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11. 已知命题“ $\exists x \in R$ ，使 $2 x^{2} + (a - 1) x + \frac{1}{2} \leq 0$ ”是假命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 3)$ C、 $(- 3 ， + \infty)$ D、 $(- 3 ， 1)$

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12. 已知曲线 $y = x^{2}$ 和曲线 $y = \sqrt{x}$ 围成一个叶形图(如图中阴影部分)，则其面积为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{3}$

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二、填空题（共4题，每小题5分，共20分）

13. 设 $f (x) = a e^{x} + b \ln x$ ，且 $f' (1) = e, f' (- 1) = \frac{1}{e}$ ，则 $a + b =$ .

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14. 已知随机变量X服从正态分布 $N (0 ， σ^{2})$ ，若 $P (X > 2) = 0.023$ ，则 $P (- 2 \leq X \leq 2) =$ .

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15. 从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种.(用数字填写答案)

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16. 若 $X ~ B (5 ， \frac{1}{2})$ ，则 $P (X \geq 4) =$ .

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三、解答题（共65分）

17. 已知命题 $p ： - 2 < a < 2$ ，命题 $q ：$ 关于x的方程 $x^{2} - x + a = 0$ 有实数根.

(1)、若q为真命题，求实数a的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真命题， $\neg q$ 为真命题，求实数a的取值范围.

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18. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 4$ ，

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、求f（x）在 $[0 ， 3]$ 上的最大值和最小值．

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19. 已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

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20. 随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加，为此某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：

平均每周进行长跑训练天数	不大于2天	3天或4天	不少于5天
人数	30	130	40

若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”

附： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ （n为样本容量）

P（k²≥k₀）	0.500	0.400	0.250	0.150	0.100	0.050	0.025	0.010	0.005	0.001
k₀	0.455	0.708	1.323	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

(1)、经调查，该市约有3万人参与马拉松运动，估计其中“热烈参与者”的人数；

(2)、根据上表的数据，填写下列

2 \times 2

列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“热烈参与马拉松”与性别有关？

	热烈参与者	非热烈参与者	合计
男			140
女		55
合计

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21. 老师要从7道数学题中随机抽取3道考查学生，规定至少能做出2道即合格，某同学只会做其中的5道题

(1)、求该同学合格的概率.

(2)、用X表示抽到的3道题中会做的题目数量，求X分布列及其期望.

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四、延展题（5分）

22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a$ .若 $f (x)$ 没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是

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