初中数学苏科版八年级下册第十章分式单元测试

试卷更新日期：2021-05-23 类型：单元试卷

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一、单选题

1. 下列各式中，分式的个数有（）
$\frac{x - 1}{3}$ 、 $\frac{b^{2}}{a + 1}$ 、 $\frac{2 x + y}{π}$ 、﹣ $\frac{1}{m - 2}$ 、 $\frac{{(x - y)}^{2}}{{(x + y)}^{2}}$ 、2﹣ $\frac{1}{x}$ .

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 若分式 $\frac{x^{2} - 1}{x + 1}$ 的值等于0，则x的值为（）

A、 $x = \pm 1$ B、x =1 C、 $x = - 1$ D、x = 0

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3. 如果把 $\frac{x y}{x + y}$ 中 $x 、 y$ 的值都扩大 $10$ 倍，那么这个代数式的值（）

A、不变 B、扩大 $10$ 倍 C、扩大 $20$ 倍 D、扩大 $100$ 倍

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4. 已知 $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = 4$ ，则 $\frac{a - 2 a b - b}{2 a - 2 b + 7 a b}$ 的值等于

A、6 B、 $- 6$ C、 $\frac{2}{15}$ D、 $- \frac{2}{7}$

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5. 计算 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} - \frac{a^{2} - b^{2}}{a b}$ 的结果是（）

A、 $\frac{2 a}{b}$ B、 $\frac{2 b}{a}$ C、 $- \frac{2 a}{b}$ D、 $- \frac{2 b}{a}$

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6. 化简 $\frac{x^{2} - x}{x + 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x^{2} - 2 x + 1}$ 的结果是（）

A、 $\frac{1}{x}$ B、x C、 $\frac{x + 1}{x - 1}$ D、 $\frac{x - 1}{x + 1}$

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7. 化简 $(1 - \frac{2}{x + 1}) \div \frac{1}{x^{2} - 1}$ 的结果是（）

A、(x+1)² B、(x-1)² C、 $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ D、 $\frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$

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8. 某生产小组计划生产3000个口罩，由于采用新技术，实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务，设原计划每小时生产口罩x个，根据题意，所列方程正确的是（）

A、 $\frac{3000}{x} - \frac{3000}{x + 2} = 5$ B、 $\frac{3000}{2 x} - \frac{3000}{x} = 5$ C、 $\frac{3000}{x + 2} - \frac{3000}{x} = 5$ D、 $\frac{3000}{x} - \frac{3000}{2 x} = 5$

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9. 关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x + m}{x - 2} + \frac{2 m}{2 - x} = 3$ 的解为正实数，则实数 $m$ 的取值范围是 $($ $)$

A、 $m < - 6$ 且 $m \neq 2$ B、 $m > 6$ 且 $m \neq 2$ C、 $m < 6$ 且 $m \neq - 2$ D、 $m < 6$ 且 $m \neq 2$

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10. 若关于x的分式方程 $\frac{m}{1 - x} = \frac{3}{x - 1} - 2$ 有非负实数解，且关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} x + 1 \geq 0 \\ x + m \leq 2 \end{array}$ 有解，则满足条件的所有整数m的和为（）

A、 $- 9$ B、 $- 8$ C、 $- 7$ D、 $- 6$

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二、填空题

11. 计算： $\frac{a^{2}}{a + 3} - \frac{9}{a + 3}$ ＝.

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12. 已知 $\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{x - y}{x + y}$ = ．

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13. 用换元法解分式方程 $\frac{5 x}{x^{2} + 1} + 1 = \frac{x^{2} + 1}{x}$ 时，若设 $\frac{x}{x^{2} + 1} = y$ ，则原方程可以化为整式方程．

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14. 甲乙两地相距5km，汽车从甲到乙，速度为 $v$ km/h，可按时到达，若每小时多行驶 $a$ km，则汽车提前h到达．

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15. 如果关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{x - 3} = 2 - \frac{k}{3 - x}$ 的有增根，那么 $k$ 的值为．

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16. 已知 $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 3$ ，则 $\frac{x - 3 x y - y}{2 x + 3 x y - 2 y}$ 的值为．

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17. 已知 $\frac{x}{x^{2} - 3 x + 1} = 1$ ，则 $\frac{x^{2}}{x^{4} - 9 x^{2} + 1}$ 的值．

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18. 一位工人师傅加工1500个零件后，把工作效率提高到原来的2.5倍，因此再加工1500个零件时，较前提早了18个小时完工，问这位工人师傅提高工作效率的前后每小时各加工多少个零件？设提高工作效率前每小时加工x个零件，则根据题意可列方程为。

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三、综合题

19. 解下列方程：

(1)、 $\frac{2}{x} = \frac{3}{x - 2}$

(2)、 $\frac{x - 1}{4 - x} = 2 - \frac{3}{x - 4}$

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20. 先化简 $(1 + \frac{1}{a + 1}) \div \frac{a^{2} + 4 a + 4}{a^{2} - 1}$ ，再从0，－2，－1，1中选择一个合适的数代入并求值.

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21. 在解答“先化简式子 $\frac{2 x + 6}{x^{2} - 4 x + 4} \div \frac{x^{2} + 3 x}{x - 2}$ ，再选一个你认为合适的整数x代入求值”这个题时，小明选取 $x = - 3$ ，计算得原式的值为 $\frac{2}{15}$ .

(1)、你认为小明的计算正确吗？为什么？

(2)、请你写出你的解答过程.

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22. 已知 $A = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} - 1} - \frac{x}{x - 1}$ .

(1)、化简A；

(2)、当 $x$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x - 1 \geq 0 \\ x - 3 < 0 \end{array}$ ，且 $x$ 为整数时，求A的值.

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23. 在近期“抗疫”期间，学校购买了A、B两种不同型号的口罩，已知A型口罩的单价比B型口罩的单价多1元，且用7500元购买A型口罩的数量与用4500元购买B型口罩的数量相同.

(1)、求A、B两种型号口罩的单价各是多少元？

(2)、根据疫情发展情况，学校还需要增加购买一些口罩，增加购买B型口罩数量是A型口罩数量的2倍，若总费用不超过6600元，求增加购买A型口罩的数量最多是多少个？

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24. 阅读下面材料，解答后面的问题．
解方程： $\frac{x - 1}{x}$ － $\frac{4 x}{x - 1}$ ＝0.

解：设y＝ $\frac{x - 1}{x}$ ，则原方程可化为y－ $\frac{4}{y}$ ＝0，方程两边同时乘y ，得y²－4＝0，解得y₁＝2，y₂＝－2.

经检验，y₁＝2，y₂＝－2都是方程y－ $\frac{4}{y}$ ＝0的解．

当y＝2时， $\frac{x - 1}{x}$ ＝2，解得x＝－1；当y＝－2时， $\frac{x - 1}{x}$ ＝－2，解得x＝ $\frac{1}{3}$ .

经检验，x₁＝－1，x₂＝ $\frac{1}{3}$ 都是原分式方程的解．所以原分式方程的解为x₁＝－1，x₂＝ $\frac{1}{3}$ .

上述这种解分式方程的方法称为换元法．

问题：

(1)、若在方程 $\frac{x - 1}{4 x}$ － $\frac{x}{x - 1}$ ＝0中，设y＝ $\frac{x - 1}{x}$ ，则原方程可化为；

(2)、若在方程 $\frac{x - 1}{x + 1}$ － $\frac{4 x + 4}{x - 1}$ ＝0中，设y＝ $\frac{x - 1}{x + 1}$ ，则原方程可化为；

(3)、模仿上述换元法解方程： $\frac{x - 1}{x + 2}$ － $\frac{3}{x - 1}$ －1＝0.

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25. 仔细阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”.例如： $\frac{x - 1}{x + 1}$ ， $\frac{x^{2}}{x - 1}$ ；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： $\frac{1}{x + 1}$ ， $\frac{2 x + 1}{x^{2} - 1}$ .我们知道，假分数可以化为带分数，例如： $\frac{12}{5} = \frac{10 + 2}{5}$ =2+ $\frac{2}{5}$ =2 $\frac{2}{5}$ ，类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形式），例如： $\frac{x + 1}{x - 1} = \frac{x - 1 + 2}{x - 1}$ =1+ $\frac{2}{x - 1}$ .

(1)、将分式 $\frac{2 x + 1}{x - 1}$ 化为带分式；

(2)、当x取哪些整数值时，分式 $\frac{2 x + 1}{x - 1}$ 的值也是整数？

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26. 按要求完成下列题目．

(1)、求： $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4}$ +…+ $\frac{1}{n (n + 1)}$ 的值．
对于这个问题，可能有的同学接触过，一般方法是考虑其中的一般项，注意到上面和式的每一项可以写成 $\frac{1}{n (n + 1)}$ 的形式，而 $\frac{1}{n (n + 1)}$ = $\frac{1}{n}$ ﹣ $\frac{1}{n + 1}$ ，这样就把 $\frac{1}{n (n + 1)}$ 一项（分）裂成了两项．
试着把上面和式的每一项都裂成两项，注意观察其中的规律，求出上面的和，并直接写出 $\frac{1}{1 \times 2}$ + $\frac{1}{2 \times 3}$ + $\frac{1}{3 \times 4}$ +…+ $\frac{1}{2016 \times 2017}$ 的值．

(2)、若 $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2)}$ = $\frac{A}{n (n + 1)}$ + $\frac{B}{(n + 1) (n + 2)}$
①求：A、B的值：
②求： $\frac{1}{1 \times 2 \times 3}$ + $\frac{1}{2 \times 3 \times 4}$ +…+ $\frac{1}{n (n + 1) (n + 2)}$ 的值．

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二、填空题

三、综合题

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