2019人教版选修二等比数列同步练习

试卷更新日期：2021-05-22 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} + a_{4} = 30, a_{1} a_{3} = 9$ ，则公比 $q =$ （）

A、9或-11 B、3或-11 C、3或 $\frac{1}{3}$ D、3或-3

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2. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{5} = 10$ ， $a_{1} a_{5} = 16$ 且 $a_{1} < a_{5}$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、±16 B、16 C、±4 D、4

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3. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $2 S_{3} = a_{2} + a_{3} + a_{4}$ ，则公比 $q =$ （）．

A、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ C、1 D、2

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4. 有下列四个说法：①等比数列中的某一项可以为0；②等比数列中公比的取值范围是 $(- \infty, + \infty)$ ；③若一个常数列是等比数列，则这个常数列的公比为1；④若 $b^{2} = a c$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 成等比数列.其中说法正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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5. $5 G$ 是第五代移动通信技术的简称，其意义在于万物互联，即所有人和物都将存在于有机的数字生态系统中，它把以人为中心的通信扩展到同时以人与物为中心的通信，将会为社会生活与生产方式带来巨大的变化．目前我国最高的 $5 G$ 基站海拔6500米．从全国范围看，中国 $5 G$ 发展进入了全面加速阶段，基站建设进度超过预期．现有8个工程队共承建10万个基站，从第二个工程队开始，每个工程队所建的基站数都比前一个工程队少 $\frac{1}{6}$ ，则第一个工程队承建的基站数（单位：万）约为（）

A、 $\frac{10 \times 6^{8}}{6^{8} - 5^{8}}$ B、 $\frac{10 \times 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$ C、 $\frac{80 \times 6^{7}}{6^{8} - 5^{8}}$ D、 $\frac{10 \times 6^{6}}{6^{8} - 5^{6}}$

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6. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难次日脚痛减一半六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则此人第6天走了（）

A、48里 B、24里 C、12里 D、6里

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7. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $q > 1$ ”是“ $S_{4} + S_{6} - 2 S_{5} > 0$ ”的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充分必要 D、既不充分也不必要

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8. 在流行病学中，基本传染数R₀是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.初始感染者传染R₀个人，为第一轮传染，这R₀个人中每人再传染R₀个人，为第二轮传染，…….R₀一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定.假设新冠肺炎的基本传染数 $R_{0} = 3.8$ ，平均感染周期为7天，设某一轮新增加的感染人数为M，则当M>1000时需要的天数至少为（）参考数据：lg38≈1.58

A、34 B、35 C、36 D、37

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二、多选题

9. 已知数列 $1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,$ ……，其中第一项是 $2^{0}$ ，接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1},$ 再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2},$ 依次类推…，第 $n$ 项记为 $a_{n}$ ，数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{60} = 16$ B、 $S_{18} = 128$ C、 $a_{\frac{k^{2} + k}{2}} = 2^{k - 1}$ D、 $S_{\frac{k^{2} + k}{2}} = 2^{k} - k - 1$

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为 $q$ ，前4项的和为 $a_{1} + 14$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ ， $a_{4}$ 成等差数列，则 $q$ 的值可能为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

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11. 设首项为1的数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + n - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、数列 ${S_{n} + n}$ 为等比数列 B、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n - 1} - 1$ C、数列 ${a_{n} + 1}$ 为等比数列 D、数列 ${2 S_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $2^{n + 2} - n^{2} - n - 4$

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12. 若数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和是 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，则下列选项正确的为（）

A、数列 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、 $a_{n} = 2^{n}$ C、数列 ${a_{n}^{2}}$ 的前 $n$ 项和为 $\frac{2^{2 n + 1} - 2}{3}$ D、数列 ${\frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} < 1$

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三、填空题

13. 记 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{4} = \frac{5}{16}, a_{5} + a_{7} = \frac{5}{128}$ ，则 $S_{n} =$ .

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14. 记 $S_{n}$ 为正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{1} + a_{2} = 96$ ， $a_{3} = 16$ ，则 $S_{7}$ 的值为.

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15. 《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢，各穿几何？”题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍：小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半.如果墙足够厚， $S_{n}$ 为前n天两只老鼠打洞长度之和，则 $S_{3} =$ 尺.

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16. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} - a_{3} = 3$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{1}$ ， $S_{3}$ ， $S_{2}$ 成等差数列，则 $S_{n}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的第2项和第5项分别为2和16，数列 ${2 n + 3}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ .

(1)、求 $a_{n}$ ， $S_{n}$ ；

(2)、求数列 ${a_{n} \cdot (S_{n} + 2)}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d = 2$ ，且 $a_{1} + a_{2} = 6$ ，数列 ${b_{n}}$ 是各项均为正数的等比数列，且满足 $b_{1} = \frac{1}{2}$ ， $b_{3} b_{5} = \frac{1}{256}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = \frac{1}{2} a_{n} b_{n}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .求证： $T_{n} < 2$ .

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{a_{n}}$ 和 $\frac{2}{a_{n}}$ 的等差中项为1．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（Ⅱ）设 $b_{n} = \log_{4} a_{n + 1}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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20. 已知：数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 2} = 4 a_{n + 1} - 4 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、证明数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且6， $2 S_{n}$ ， $a_{n}$ 成等差数列．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、是否存在 $m \in N^{*}$ ，使得 $a_{1} a_{2} + a_{2} a_{3} + \dots + a_{n} a_{n + 1} > 6 a_{m}$ 对任意 $n \in N^{*}$ 成立？若存在，求m的所有取值；否则，请说明理由．

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22. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{n + 2}{2 n} a_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{n (n + 1)}}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2019人教版选修二 等比数列同步练习

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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